WikiSort.ru - Не сортированное

Распределение ${\displaystyle \chi ^{2}}$ . Распределение Пирсона
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$ или ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$
Параметры	${\displaystyle k>0}$ — число степеней свободы
Носитель	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle k}$
Медиана	примерно ${\displaystyle k-2/3}$
Мода	${\displaystyle k-2}$ если ${\displaystyle k\geq 2}$
Дисперсия	${\displaystyle 2\,k}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 12/k}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \psi (x)=\Gamma '(x)/\Gamma (x).}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$ , если ${\displaystyle 2\,t<1}$
Характеристическая функция	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$

Распределе́ние ${\displaystyle \chi ^{2}}$ (хи-квадра́т) с ${\displaystyle k}$ степеня́ми свобо́ды — это распределение суммы квадратов ${\displaystyle k}$ независимых стандартных нормальных случайных величин.

Определение

Пусть ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$  — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: ${\displaystyle z_{i}\sim N(0,1)}$ . Тогда случайная величина

${\displaystyle x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2}}$

имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle k}$ степенями свободы, то есть ${\displaystyle x\sim f_{\chi ^{2}(k)}(x)}$ , или, если записать по-другому:

${\displaystyle x=\sum \limits _{i=1}^{k}z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k)}$ .

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид:

${\displaystyle f_{\chi ^{2}(k)}(x)\equiv \Gamma \!\left({2},{k \over 2}\right)={\frac {(1/2)^{k \over 2}}{\Gamma \!\left({k \over 2}\right)}}\,x^{{k \over 2}-1}\,e^{-{\frac {x}{2}}}}$ ,

где ${\displaystyle \Gamma \!\left(2,{k/2}\right)}$ означает гамма-распределение, а ${\displaystyle \Gamma \!\left({k/2}\right)}$  — гамма-функцию.

Функция распределения имеет следующий вид:

${\displaystyle F_{\chi ^{2}(k)}(x)={\frac {\gamma \left({k \over 2},{x \over 2}\right)}{\Gamma \left({k \over 2}\right)}}}$ ,

где ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle \gamma }$ обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат

• Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ независимы, и ${\displaystyle Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$ , а ${\displaystyle Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$ , то

${\displaystyle Y_{1}+Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})}$ .

• Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(k)}$ , то

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=k}$ ,

${\displaystyle \mathrm {D} [Y]=2k}$ .

• В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(k)}$ может быть приближено нормальным ${\displaystyle Y\approx N(k,2k)}$ . Более точно

${\displaystyle {\frac {Y-k}{\sqrt {2k}}}\to N(0,1)}$ по распределению при ${\displaystyle k\to \infty }$ .

Связь с другими распределениями

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ независимые нормальные случайные величины, то есть: ${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,k;\;\mu }$ известно, то случайная величина

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

имеет распределение ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$ .

• Если ${\displaystyle k=2}$ , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:

${\displaystyle \chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)}$ .

• Если ${\displaystyle Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$ , то случайная величина

${\displaystyle F={\frac {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}}}$

имеет распределение Фишера со степенями свободы ${\displaystyle (k_{1},k_{2})}$ .

Вариации и обобщение

Дальнейшим обобщением распределения хи-квадрат является так называемое нецентральное распределение хи-квадрат^[en], возникающее в некоторых задачах статистики.

Квантили

Квантиль — это число (аргумент), на котором функция распределения равна заданной, требуемой вероятности (грубо говоря - это результат обращения функции распределения, но есть тонкости с разрывными функциями распределения).

История

Критерий χ² был предложен Карлом Пирсоном в 1900 году.^[1] Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 10²⁹.

Общее обсуждение критерия χ² и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.^[2]

См. также

• Критерий согласия Пирсона (критерий χ²)

Примечания