WikiSort.ru - Не сортированное

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Крэйгом Трейси^[d] и Гарольдом Видомом^[d] для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы^[1].

В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами^[2]. Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановок^[3], во флуктуациях потока асимметричного процесса с простыми исключениями (ASEP)^[d] с шаговым начальным условием^[4][5] и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводов^[6][7].

Распределение F₁ особенно интересно с точки зрения многомерной статистики^{[d] [8][9][10][11]}.

Определение

Распределение Трейси — Видома определяется как предел^[12]

${\displaystyle F_{\beta }(s)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\rm {Prob}}\left((\lambda _{\rm {max}}-{\sqrt {2n}})({\sqrt {2}})n^{1/6}\leq s\right){\mbox{,}}}$

где ${\displaystyle \lambda _{\rm {max}}}$  — наибольшее собственное число случайной матрицы ${\displaystyle n\times n}$ стандартного (для компонентов матрицы ${\displaystyle \sigma =1/{\sqrt {2}}}$ ) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг ${\displaystyle {\sqrt {2n}}}$ используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель ${\displaystyle ({\sqrt {2}})n^{1/6}}$ используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как ${\displaystyle n^{-1/6}}$ .

Эквивалентные представления

Кумулятивная функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей (${\displaystyle \beta =2}$ ) может быть представлена как фредгольмов определитель^[d]

${\displaystyle F_{2}(s)=\det(I-A_{s})}$

оператора ${\displaystyle A_{s}}$ на интегрируемой с квадратом функции на луче ${\displaystyle (s,\infty )}$ ядром в понятиях функций Эйри ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ через

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}.}$

Также её можно представить интегралом

${\displaystyle F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)}$

через решение уравнения Пенлеве^[d] II

${\displaystyle q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}}$

где ${\displaystyle q}$ , называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

${\displaystyle \displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .}$

Другие распределения Трейси — Видома

Распределения Трейси — Видома ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{4}}$ для ортогональных (${\displaystyle \beta =1}$ ) и симплектических (${\displaystyle \beta =4}$ ) ансамблей также выразимы через трансцендент Пенлеве^[d] ${\displaystyle q}$ ^[5]:

${\displaystyle F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}}$

и

${\displaystyle F_{4}(s/{\sqrt {2}})=\mathrm {ch} \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.}$

Существует расширение этого определения на случаи ${\displaystyle F_{\beta }}$ при всех ${\displaystyle \beta >0}$ ^[13].

Численные приближения

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 году^[14] (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточнены^[15] и используются для получения численного анализа Пенлеве II и рапределений Трейси — Видома (для ${\displaystyle \beta =1,2,4}$ ) в S-PLUS. Эти распределения были табулированы^[15] до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 году^[16] даны точные и быстрые алгоритмы численного определения ${\displaystyle F_{\beta }}$ и функций плотности ${\displaystyle \textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}}$ для ${\displaystyle \beta =1,2,4}$ . По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений ${\displaystyle F_{\beta }}$ .

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstat^[17] и в пакете для MATLAB RMLab^[18].

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределений^[19].

Примечания

Литература

• Доценко В. С. Универсальная случайность // УФН. — 2011. — Т. 181, № 3. — DOI:10.3367/UFNr.0181.201103b.0269.
• Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), "On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations", Journal of the American Mathematical Society Т. 12 (4): 1119–1178, DOI 10.1090/S0894-0347-99-00307-0 .
• Deift, P. (2007), "Universality for mathematical and physical systems", International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006), European Mathematical Society, с. 125–152 .
• Johansson, K. (2000), "Shape fluctuations and random matrices", Communications in Mathematical Physics Т. 209 (2): 437–476, DOI 10.1007/s002200050027 .
• Johansson, K. (2002), "Toeplitz determinants, random growth and determinantal processes", Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002), vol. 3, Beijing: Higher Ed. Press, с. 53–62 .
• Johnstone, I. M. (2007), "High dimensional statistical inference and random matrices", International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006), European Mathematical Society, с. 307–333 .
• Johnstone, I. M. (2008), "Multivariate analysis and Jacobi ensembles: largest eigenvalue, Tracy–Widom limits and rates of convergence", Annals of Statistics Т. 36 (6): 2638–2716, PMID 20157626, DOI 10.1214/08-AOS605 .
• Johnstone, I. M. (2009), "Approximate null distribution of the largest root in multivariate analysis", Annals of Applied Statistics Т. 3 (4): 1616–1633, PMID 20526465, DOI 10.1214/08-AOAS220 .
• Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), "Exact asymptotic results for the Bernoulli matching model of sequence alignment", Physical Review E Т. 72 (2): 020901, 4, DOI 10.1103/PhysRevE.72.020901 .
• Patterson, N.; Price, A. L. & Reich, D. (2006), "Population structure and eigenanalysis", PLoS Genetics Т. 2 (12): e190, PMID 17194218, DOI 10.1371/journal.pgen.0020190 .
• Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), "Universal distributions for growing processes in 1+1 dimensions and random matrices", Physical Review Letters Т. 84 (21): 4882–4885, PMID 10990822, DOI 10.1103/PhysRevLett.84.4882 .
• Takeuchi, K. A. & Sano, M. (2010), "Universal fluctuations of growing interfaces: Evidence in turbulent liquid crystals", Physical Review Letters Т. 104 (23): 230601, PMID 20867221, DOI 10.1103/PhysRevLett.104.230601 
• Takeuchi, K. A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011), "Growing interfaces uncover universal fluctuations behind scale invariance", Scientific Reports Т. 1: 34, DOI 10.1038/srep00034 
• Tracy, C. A. & Widom, H. (1993), "Level-spacing distributions and the Airy kernel", Physics Letters B Т. 305 (1—2): 115–118, DOI 10.1016/0370-2693(93)91114-3 .
• Tracy, C. A. & Widom, H. (1994), "Level-spacing distributions and the Airy kernel", Communications in Mathematical Physics Т. 159 (1): 151–174, DOI 10.1007/BF02100489 .
• Tracy, C. A. & Widom, H. (2002), "Distribution functions for largest eigenvalues and their applications", Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002), vol. 1, Beijing: Higher Ed. Press, с. 587–596 .
• Tracy, C. A. & Widom, H. (2009), "Asymptotics in ASEP with step initial condition", Communications in Mathematical Physics Т. 290 (1): 129–154, DOI 10.1007/s00220-009-0761-0 .
• Bejan, Andrei Iu. (2005), Largest eigenvalues and sample covariance matrices. Tracy–Widom and Painleve II: Computational aspects and realization in S-Plus with applications, M.Sc. dissertation, Department of Statistics, The University of Warwick, <http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf> .
• Bornemann, F. (2010), "On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics", Markov Processes and Related Fields Т. 16 (4): 803–866 .
• Chiani, M. (2012), Distribution of the largest eigenvalue for real Wishart and Gaussian random matrices and a simple approximation for the Tracy–Widom distribution .
• Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Numerical Methods for Eigenvalue Distributions of Random Matrices .
• Ramírez, J. A.; Rider, B. & Virág, B. (2006), Beta ensembles, stochastic Airy spectrum, and a diffusion .

Ссылки

• Kuijlaars, Universality of distribution functions in random matrix theory, <http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf> .
• Tracy, C. A. & Widom, H., The distributions of random matrix theory and their applications, <http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf> .
• Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick & Shahram, Morteza (2009), Package 'RMTstat', <http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf> .
• Quanta Magazine: At the Far Ends of a New Universal Law