WikiSort.ru - Не сортированное

Распределение Парето
${\displaystyle x_{m}=1}$ Плотность вероятности
${\displaystyle x_{m}=1}$ Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle P(k,x_{m})}$
Параметры	${\displaystyle x_{m}>0}$  — коэффициент масштаба ${\displaystyle k>0}$
Носитель	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}}$
Функция распределения	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {\,kx_{\mathrm {m} }}{k-1}}}$ , если ${\displaystyle k>1}$
Медиана	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}}$
Мода	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }}$
Дисперсия	${\displaystyle \left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}}$ при ${\displaystyle k>2}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}}$ при ${\displaystyle k>3}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}}$ при ${\displaystyle k>4}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1}$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	${\displaystyle k\left(\Gamma (-k)(x_{\mathrm {m} }^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k})+\right.}$ ${\displaystyle \left.+E_{\mathrm {k+1} }(-ix_{\mathrm {m} }t)\right)}$

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других^[1]. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Определение

Пусть случайная величина ${\displaystyle X}$ такова, что её распределение задаётся равенством:

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{m}}{x}}\right)^{k},\;\forall x\geq x_{m}}$ ,

где ${\displaystyle x_{m},k>0}$ . Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Парето с параметрами ${\displaystyle x_{m}}$ и ${\displaystyle k}$ . Плотность распределения Парето имеет вид:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geq x_{m}\\0,&x<x_{m}\end{matrix}}\right..}$

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{k-n}},}$

откуда, в частности,

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1}},}$

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.}$

Приложения

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода^[2]. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины k, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d'économie politique говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

• В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
  • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
  • Аналогичная кривая для популярности имен.
• Распределение размера населенных пунктов.^[3]
• Распределение размера файла в интернет-трафике по TCP-протоколу.^{[3][нет в источнике]}

См. также

• Закон Парето
• Кривая Парето
• Закон Ципфа
• Степенной закон

Примечания

Литература

• Артюхов В. В. Эффективность // Общая теория систем: Самоорганизация, устойчивость, разнообразие, кризисы. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 60—68. — 224 с. — ISBN 978-5-397-00855-6.

Эта статья или раздел содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, закончив перевод. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне.