Определение
Пусть есть случайная величина
с распределением
. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:
-
.
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:
-
,
то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа плотности распределения случайной величины (с точностью до отражения).
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина
дискретна, то есть
, то
-
.
Пример. Пусть
имеет распределение Бернулли. Тогда
-
.
Если случайная величина
абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность
, то
-
.
Пример. Пусть
имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
-
.
Свойства производящих функций моментов
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.
- Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть
суть две случайные величины, и
. Тогда
. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
- Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
-
.
- Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть
есть независимые случайные величины. Обозначим
. Тогда
-
.
Вычисление моментов
-
.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .