WikiSort.ru - Не сортированное

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины при стремлении количества выборок или количества её измерений (иногда говорят — количества испытаний) к бесконечности.

Среднее арифметическое одномерной случайной величины конечного числа испытаний обычно называют оценкой математического ожидания. При стремлении числа испытаний стационарного случайного процесса к бесконечности оценка математического ожидания стремится к математическому ожиданию.

Математическое ожидание — одно из основных понятий в теории вероятностей^[1].

• В англоязычной литературе обозначается через ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ ^[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert),
• в русской — ${\displaystyle M[X]}$ (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»).
• В статистике часто используют обозначение ${\displaystyle \mu }$ .

Определение

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2016 года.

Пусть задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ и определённая на нём случайная величина ${\displaystyle X}$ . То есть, по определению, ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от ${\displaystyle X}$ по пространству ${\displaystyle \Omega }$ , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается ${\displaystyle M[X]}$ или ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ .

${\displaystyle M[X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).}$

Основные формулы для математического ожидания

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2016 года.

• Если ${\displaystyle F_{X}(x)}$  — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

${\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x);x\in \mathbb {R} }$ .

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{\top }\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$  — случайный вектор. Тогда по определению

${\displaystyle M[X]=(M[X_{1}],\dots ,M[X_{n}])^{\top }}$ ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  — борелевская функция, такая что случайная величина ${\displaystyle Y=g(X)}$ имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

${\displaystyle M\left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i},}$

если ${\displaystyle X}$ имеет дискретное распределение;

${\displaystyle M\left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx,}$

если ${\displaystyle X}$ имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ случайной величины ${\displaystyle X}$ общего вида, то

${\displaystyle M\left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx).}$

В специальном случае, когда ${\displaystyle g(X)=X^{k}}$ , математическое ожидание ${\displaystyle M[g(X)]=M[X^{k}]}$ называется ${\displaystyle k}$ -м моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2016 года.

• Математическое ожидание числа есть само число.

${\displaystyle M[a]=a}$

${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  — константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

${\displaystyle M[aX+bY]=aM[X]+bM[Y]}$ ,

где ${\displaystyle X,Y}$  — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  — произвольные константы;

• Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если ${\displaystyle 0\leqslant X\leqslant Y}$ почти наверняка, и ${\displaystyle Y}$  — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle X}$ также конечно, и более того

${\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]}$ ;

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если ${\displaystyle X=Y}$ почти наверняка, то

${\displaystyle M[X]=M[Y]}$ .

• Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных^[3] случайных величин ${\displaystyle X,Y}$ равно произведению их математических ожиданий

${\displaystyle M[XY]=M[X]M[Y]}$ .

Дополнительные свойства математического ожидания

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2016 года.

• Неравенство Маркова
• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Тождество Вальда
• Лемма Фату
• Правило Лопиталя
• Математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle X}$ может быть выражено через её производящую функцию моментов ${\displaystyle G(u)}$ как значение первой производной в нуле: ${\displaystyle M[X]=G'(0)}$

Примеры

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2016 года.

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.}$ Тогда её математическое ожидание

${\displaystyle M[X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ , где ${\displaystyle a<b}$ . Тогда её плотность имеет вид ${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x)}$ и математическое ожидание равно

${\displaystyle M[X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}}$ .

• Пусть случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет стандартное распределение Коши. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx=\infty }$ ,

то есть математическое ожидание ${\displaystyle X}$ не определено.

См. также

• Дисперсия случайной величины
• Моменты случайной величины

Примечания

Литература

• Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Ссылки

• Математическое ожидание и его свойства на http://www.toehelp.ru