WikiSort.ru - Не сортированное

Нормальное распределение
Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению Плотность вероятности
Цвета на этом графике соответствуют графику наверху Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$
Параметры	μ — коэффициент сдвига (вещественный) σ > 0 — коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)
Носитель	${\displaystyle x\in \left(-\infty ;+\infty \right)}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]}$
Математическое ожидание	${\displaystyle \mu }$
Медиана	${\displaystyle \mu }$
Мода	${\displaystyle \mu }$
Дисперсия	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle 0}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 0}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle M_{X}\left(t\right)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Характеристическая функция	${\displaystyle \phi _{X}\left(t\right)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$

Норма́льное распределе́ние^[1][2], также называемое распределением Гаусса или Гаусса — Лапласа^[3] — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}$

где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ — среднеквадратическое отклонение (σ ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

Значение

Важное значение нормального распределения во многих областях науки (например, в математической статистике и статистической физике) вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Свойства

Моделирование нормальных псевдослучайных величин

Простейшие приближённые методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить несколько независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена приблизительно нормально. Например, если сложить 100 независимых стандартно равномерно распределённых случайных величин, то распределение суммы будет приближённо нормальным.

Для программного генерирования нормально распределённых псевдослучайных величин предпочтительнее использовать преобразование Бокса — Мюллера. Оно позволяет генерировать одну нормально распределённую величину на базе одной равномерно распределённой.

Также существует алгоритм Зиккурат, который работает даже быстрее преобразования Бокса — Мюллера. Тем не менее, сложнее в реализации, но его применение оправдано в случаях, когда требуется генерирование очень большого числа неравномерно распределенных случайных чисел.

Нормальное распределение в природе и приложениях

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

• отклонение при стрельбе;
• погрешности измерений (однако погрешности некоторых измерительных приборов имеют иное распределение);
• некоторые характеристики живых организмов в популяции.

Такое широкое распространение этого распределения связано с тем, что оно является бесконечно делимым непрерывным распределением с конечной дисперсией. Поэтому к нему в пределе приближаются некоторые другие, например биномиальное и пуассоновское. Этим распределением моделируются многие недетерминированные физические процессы^[6].

Многомерное нормальное распределение используется при исследовании многомерных случайных величин (случайных векторов). Одним из многочисленных примеров таких приложений является исследование параметров личности человека в психологии и психиатрии.

Связь с другими распределениями

• Нормальное распределение является распределением Пирсона типа XI^[7].
• Отношение пары независимых стандартных нормально распределенных случайных величин имеет распределение Коши^[8]. То есть, если случайная величина ${\displaystyle X}$ представляет собой отношение ${\displaystyle X=Y/Z}$ (где ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$  — независимые стандартные нормальные случайные величины), то она будет обладать распределением Коши.
• Если ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$  — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть ${\displaystyle z_{i}\sim N\left(0,1\right)}$ , то случайная величина ${\displaystyle x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2}}$ имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы.
• Если случайная величина ${\displaystyle X}$ подчинена логнормальному распределению, то её натуральный логарифм имеет нормальное распределение. То есть, если ${\displaystyle X\sim \mathrm {LogN} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ , то ${\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ . И наоборот, если ${\displaystyle Y\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ , то ${\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm {LogN} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ .
• Отношение квадратов двух стандартных нормальных случайных величин имеет распределение Фишера со степенями свободы ${\displaystyle \left(1,1\right)}$ .

История

Впервые нормальное распределение как предел биномиального распределения при ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ появилось в 1738 году во втором издании работы Муавра «Доктрина случайностей»^[en][9]. Это было первое доказательство частного случая центральной предельной теоремы. В 1809 году Гаусс в сочинении «Теория движения небесных тел» ввёл это распределение как возникающее в результате многократных измерений движения небесных тел. Однако Гаусс вывел формулу для действительных случайных величин из принципа достижения максимума совместной плотности всех измерений в точке с координатами, равными среднему всех измерений. Этот принцип впоследствии подвергался критике. В 1812 году Лаплас в теореме Муавра — Лапласа обобщил результат Муавра для произвольного биномиального распределения, то есть для сумм одинаково распределённых независимых бинарных величин^[3].

См. также

• Аддитивный белый гауссовский шум
• Логнормальное распределение
• Центральная предельная теорема
• Двумерное нормальное распределение
• Многомерное нормальное распределение
• Статистический критерий
• Частотное распределение

Примечания

Литература

• Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.

Ссылки

• Таблица значений функции стандартного нормального распределения
• Онлайн расчёт вероятности нормального распределения

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.