WikiSort.ru - Не сортированное

Кванти́ли распределе́ния хи-квадра́т — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и непараметрическое оценивание.

Квантиль хи-квадрат — это число (величина хи-квадрат), при котором функция распределения хи-квадрат равна заданной (затребованной) вероятности а.

Равенство функции распределения хи-квадрат вероятности а означает, что с вероятностью а будут наблюдаться значения хи-квадрат, не большие, чем найденный (определенный согласно функции распределения) квантиль хи-квадрат. Таким образом, найти квантиль означает разграничить распределения хи-квадрат согласно заданной вероятности а.

Определение

Пусть ${\displaystyle F_{n}}$  — функция распределения хи-квадрат ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ с ${\displaystyle n}$ степенями свободы, и ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ . Тогда ${\displaystyle \alpha }$ -квантилем этого распределения называется число ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ такое, что

${\displaystyle F_{n}\left(\chi _{\alpha ,n}^{2}\right)=\alpha }$ .

Замечания

• Прямо из определения следует, что случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с ${\displaystyle n}$ степенями свободы, не превышает значение ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ с вероятностью ${\displaystyle \alpha }$ и превышает его с вероятностью ${\displaystyle 1-\alpha }$ .
• Функция ${\displaystyle F_{n}}$ строго возрастает для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Следовательно, определена её обратная функция ${\displaystyle F_{n}^{-1}}$ , и

${\displaystyle F_{n}^{-1}(\alpha )=\chi _{\alpha ,n}^{2}}$ .

• Функция ${\displaystyle F_{n}^{-1}}$ не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.

Аппроксимация квантилей

Для получения приближенных значений квантилей распределения хи-квадрат ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ существуют аппроксимации.

• Аппроксимация Корниша-Фишера^[1]

${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}=n+A{\sqrt {n}}+B+{\frac {C}{\sqrt {n}}}+{\frac {D}{n}}+{\frac {E}{n{\sqrt {n}}}}}$ ,

где:

${\displaystyle A=d{\sqrt {2}}}$ ,

${\displaystyle B={\frac {2}{3}}\left({{d}^{2}}-1\right)}$

${\displaystyle C=d\cdot {\frac {{{d}^{2}}-7}{9{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle D=-{\frac {6{{d}^{4}}+14{{d}^{2}}-32}{405}}}$

${\displaystyle E=d\cdot {\frac {9{{d}^{4}}+256{{d}^{2}}-433}{4860{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle d=2.0637\cdot {{\left(\ln {\frac {1}{1-\alpha }}-0.16\right)}^{0.4274}}-1.5774}$ при ${\displaystyle 0.5\leq \alpha \leq 0.999}$

${\displaystyle d=-2.0637\cdot {{\left(\ln {\frac {1}{\alpha }}-0.16\right)}^{0.4274}}+1.5774}$ при ${\displaystyle 0.001\leq \alpha <0.5}$

• Аппроксимация Голдштейна^[2]

${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}=n\cdot {{\left[\sum \limits _{i=0}^{6}{{{n}^{-{\frac {i}{2}}}}\cdot {{d}^{i}}\cdot \left({{a}_{i}}+{\frac {{b}_{i}}{n}}+{\frac {{c}_{i}}{{n}^{2}}}\right)}\right]}^{3}}}$ ,

где d определяется аналогично, а коэффициенты a, b,c приведены в таблице

Таблица квантилей

Нижеприведённая таблица получена с помощью функции chi2inv пакета MATLAB.

Также квантили можно получить с помощью других программных средств:

• пакет LibreOffice, электронная таблица Calc, функция CHIINV.
• библиотека scipy для языка python, функция scipy.stats.distributions.chi2.ppf
• встроенная функция в электронной таблице Excel : ХИ2ОБР или ХИ2.ОБР
• библиотека MathNet для .Net и Mono, метод MathNet.Numerics.Distributions.ChiSquared.InvCDF(n,a)
• библиотека ExtremeMathematics для C#, метод Extreme.Statistics.Distributions.ChiSquareDistribution.InverseDistributionFunction(a, n)
• встроенная функция языка R: qchisq(p, df)

Чтобы получить значение ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ , необходимо найти строку, соответствующую нужному ${\displaystyle n}$ , и колонку, соответствующую нужному ${\displaystyle \alpha }$ . Искомое число находится в таблице на их пересечении.
Например:

${\displaystyle \chi _{0.025,10}^{2}=20.483}$ ;

${\displaystyle \chi _{0.975,10}^{2}=3.247}$ .

Квантили ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$

	0,01	0,025	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,975	0,99
1	6,6349	5,0239	3,8415	2,7055	1,6424	1,0742	0,7083	0,4549	0,275	0,1485	0,0642	0,0158	0,0039	0,001	0,0002
2	9,2103	7,3778	5,9915	4,6052	3,2189	2,4079	1,8326	1,3863	1,0217	0,7133	0,4463	0,2107	0,1026	0,0506	0,0201
3	11,345	9,3484	7,8147	6,2514	4,6416	3,6649	2,9462	2,366	1,8692	1,4237	1,0052	0,5844	0,3518	0,2158	0,1148
4	13,277	11,143	9,4877	7,7794	5,9886	4,8784	4,0446	3,3567	2,7528	2,1947	1,6488	1,0636	0,7107	0,4844	0,2971
5	15,086	12,833	11,07	9,2364	7,2893	6,0644	5,1319	4,3515	3,6555	2,9999	2,3425	1,6103	1,1455	0,8312	0,5543
6	16,812	14,449	12,592	10,645	8,5581	7,2311	6,2108	5,3481	4,5702	3,8276	3,0701	2,2041	1,6354	1,2373	0,8721
7	18,475	16,013	14,067	12,017	9,8032	8,3834	7,2832	6,3458	5,4932	4,6713	3,8223	2,8331	2,1673	1,6899	1,239
8	20,09	17,535	15,507	13,362	11,03	9,5245	8,3505	7,3441	6,4226	5,5274	4,5936	3,4895	2,7326	2,1797	1,6465
9	21,666	19,023	16,919	14,684	12,242	10,656	9,4136	8,3428	7,357	6,3933	5,3801	4,1682	3,3251	2,7004	2,0879
10	23,209	20,483	18,307	15,987	13,442	11,781	10,473	9,3418	8,2955	7,2672	6,1791	4,8652	3,9403	3,247	2,5582
11	24,725	21,92	19,675	17,275	14,631	12,899	11,53	10,341	9,2373	8,1479	6,9887	5,5778	4,5748	3,8157	3,0535
12	26,217	23,337	21,026	18,549	15,812	14,011	12,584	11,34	10,182	9,0343	7,8073	6,3038	5,226	4,4038	3,5706
13	27,688	24,736	22,362	19,812	16,985	15,119	13,636	12,34	11,129	9,9257	8,6339	7,0415	5,8919	5,0088	4,1069
14	29,141	26,119	23,685	21,064	18,151	16,222	14,685	13,339	12,078	10,821	9,4673	7,7895	6,5706	5,6287	4,6604
15	30,578	27,488	24,996	22,307	19,311	17,322	15,733	14,339	13,03	11,721	10,307	8,5468	7,2609	6,2621	5,2293
16	32	28,845	26,296	23,542	20,465	18,418	16,78	15,338	13,983	12,624	11,152	9,3122	7,9616	6,9077	5,8122
17	33,409	30,191	27,587	24,769	21,615	19,511	17,824	16,338	14,937	13,531	12,002	10,085	8,6718	7,5642	6,4078
18	34,805	31,526	28,869	25,989	22,76	20,601	18,868	17,338	15,893	14,44	12,857	10,865	9,3905	8,2307	7,0149
19	36,191	32,852	30,144	27,204	23,9	21,689	19,91	18,338	16,85	15,352	13,716	11,651	10,117	8,9065	7,6327
20	37,566	34,17	31,41	28,412	25,038	22,775	20,951	19,337	17,809	16,266	14,578	12,443	10,851	9,5908	8,2604
21	38,932	35,479	32,671	29,615	26,171	23,858	21,991	20,337	18,768	17,182	15,445	13,24	11,591	10,283	8,8972
22	40,289	36,781	33,924	30,813	27,301	24,939	23,031	21,337	19,729	18,101	16,314	14,041	12,338	10,982	9,5425
23	41,638	38,076	35,172	32,007	28,429	26,018	24,069	22,337	20,69	19,021	17,187	14,848	13,091	11,689	10,196
24	42,98	39,364	36,415	33,196	29,553	27,096	25,106	23,337	21,652	19,943	18,062	15,659	13,848	12,401	10,856
25	44,314	40,646	37,652	34,382	30,675	28,172	26,143	24,337	22,616	20,867	18,94	16,473	14,611	13,12	11,524
26	45,642	41,923	38,885	35,563	31,795	29,246	27,179	25,336	23,579	21,792	19,82	17,292	15,379	13,844	12,198
27	46,963	43,195	40,113	36,741	32,912	30,319	28,214	26,336	24,544	22,719	20,703	18,114	16,151	14,573	12,879
28	48,278	44,461	41,337	37,916	34,027	31,391	29,249	27,336	25,509	23,647	21,588	18,939	16,928	15,308	13,565
29	49,588	45,722	42,557	39,087	35,139	32,461	30,283	28,336	26,475	24,577	22,475	19,768	17,708	16,047	14,256
30	50,892	46,979	43,773	40,256	36,25	33,53	31,316	29,336	27,442	25,508	23,364	20,599	18,493	16,791	14,953
31	52,191	48,232	44,985	41,422	37,359	34,598	32,349	30,336	28,409	26,44	24,255	21,434	19,281	17,539	15,655
32	53,486	49,48	46,194	42,585	38,466	35,665	33,381	31,336	29,376	27,373	25,148	22,271	20,072	18,291	16,362
33	54,776	50,725	47,4	43,745	39,572	36,731	34,413	32,336	30,344	28,307	26,042	23,11	20,867	19,047	17,074
34	56,061	51,966	48,602	44,903	40,676	37,795	35,444	33,336	31,313	29,242	26,938	23,952	21,664	19,806	17,789
35	57,342	53,203	49,802	46,059	41,778	38,859	36,475	34,336	32,282	30,178	27,836	24,797	22,465	20,569	18,509
36	58,619	54,437	50,998	47,212	42,879	39,922	37,505	35,336	33,252	31,115	28,735	25,643	23,269	21,336	19,233
37	59,893	55,668	52,192	48,363	43,978	40,984	38,535	36,336	34,222	32,053	29,635	26,492	24,075	22,106	19,96
38	61,162	56,896	53,384	49,513	45,076	42,045	39,564	37,335	35,192	32,992	30,537	27,343	24,884	22,878	20,691
39	62,428	58,12	54,572	50,66	46,173	43,105	40,593	38,335	36,163	33,932	31,441	28,196	25,695	23,654	21,426
40	63,691	59,342	55,758	51,805	47,269	44,165	41,622	39,335	37,134	34,872	32,345	29,051	26,509	24,433	22,164
41	64,95	60,561	56,942	52,949	48,363	45,224	42,651	40,335	38,105	35,813	33,251	29,907	27,326	25,215	22,906
42	66,206	61,777	58,124	54,09	49,456	46,282	43,679	41,335	39,077	36,755	34,157	30,765	28,144	25,999	23,65
43	67,459	62,99	59,304	55,23	50,548	47,339	44,706	42,335	40,05	37,698	35,065	31,625	28,965	26,785	24,398
44	68,71	64,201	60,481	56,369	51,639	48,396	45,734	43,335	41,022	38,641	35,974	32,487	29,787	27,575	25,148
45	69,957	65,41	61,656	57,505	52,729	49,452	46,761	44,335	41,995	39,585	36,884	33,35	30,612	28,366	25,901
46	71,201	66,617	62,83	58,641	53,818	50,507	47,787	45,335	42,968	40,529	37,795	34,215	31,439	29,16	26,657
47	72,443	67,821	64,001	59,774	54,906	51,562	48,814	46,335	43,942	41,474	38,708	35,081	32,268	29,956	27,416
48	73,683	69,023	65,171	60,907	55,993	52,616	49,84	47,335	44,915	42,42	39,621	35,949	33,098	30,755	28,177
49	74,919	70,222	66,339	62,038	57,079	53,67	50,866	48,335	45,889	43,366	40,534	36,818	33,93	31,555	28,941
50	76,154	71,42	67,505	63,167	58,164	54,723	51,892	49,335	46,864	44,313	41,449	37,689	34,764	32,357	29,707

См. также

• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.

Примечания