WikiSort.ru - Не сортированное

Логнормальное
μ=0 Плотность вероятности
μ=0 Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \ln N(\mu ,\sigma ^{2})}$ , ${\displaystyle LN(\mu ,\sigma ^{2})}$
Параметры	${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle -\infty <\mu <\infty }$
Носитель	${\displaystyle x\in (0;+\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle \exp \left(-\left.\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right]^{2}\right/2\right)\left/\left(x\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)\right.}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}$
Математическое ожидание	${\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$
Медиана	${\displaystyle e^{\mu }}$
Мода	${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$
Дисперсия	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }$
Производящая функция моментов	${\displaystyle \operatorname {E} [X^{s}]=e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.}$
Характеристическая функция	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

$${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}},}$$

где ${\displaystyle x>0,\;\sigma >0,\;\mu \in \mathbb {R} }$ . Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет логнормальное распределение с параметрами ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \sigma }$ . Пишут: ${\displaystyle X\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ .

Моменты

Формула для ${\displaystyle k}$ -го момента логнормальной случайной величины ${\displaystyle X}$ имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{k}\right]=e^{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\;k\in \mathbb {N} ,}$

откуда в частности:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=e^{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}$ ,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$ .

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

${\displaystyle \alpha _{n}=e^{(\mu ,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)}}$ , где ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \Sigma }$ — параметры многомерного совместного распределения. ${\displaystyle n}$ — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, ${\displaystyle n=(2,0)}$ — второй нецентральный момент первой компоненты, ${\displaystyle n=(1,1)}$ — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 11 октября 2013 года.

Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения.

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые логнормальные случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma _{i}^{2})}$ , то их произведение также логнормально:

  ${\displaystyle Y=\prod \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {LogN} \left(n\mu ,\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)}$ .

Связь с другими распределениями

• Если ${\displaystyle X\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ , то ${\displaystyle Y=\ln(X)\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ .

И наоборот, если ${\displaystyle Y\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ , то ${\displaystyle X=\exp(Y)\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ .

Моделирование логнормальных случайных величин

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщение

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна^{[источник не указан 978 дней]}.

Приложения

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако на самом деле здесь есть исключения, например, на самом деле распределение по размерам астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение^{[источник не указан 978 дней]}.

Литература

• Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editors) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, vol. 88, Statistics: Textbooks and Monographs, New York: Marcel Dekker, Inc., с. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0 
• Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
• Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M (2001). “Lognormal distributions across the sciences: keys and clues”. BioScience. 51 (5): 341—352. DOI:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
• Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
• Holgate, P. (1989). “The lognormal characteristic function”. Communications in Statistics - Theory and Methods. 18 (12): 4539—4548. DOI:10.1080/03610928908830173.
• Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales (1994). “The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion”. Advances in Futures and Options Research. 7. SSRN 5735.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.