Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть
-
где
— параметр масштаба,
— параметр сдвига.
Применение
Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов (когда другие распределения совсем не подогнать), экономике и финансах. Распределение можно применить к:
кредитным рискам
страховым случаям
при работе с фильтром Кальмана
Функция распределения
По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения:
-
Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:
-
Проверка свойств полученной функции:
-
не убывает, так как
положительна.
-
, следовательно,
непрерывна в точке
-
ограничена.
- Пределы на бесконечностях:
|
|
Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:
После подстановок пределов интегрирования:
Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:
Или, в общем виде:
, где
— целая часть x.