WikiSort.ru - Не сортированное

Гамма-распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \Gamma (k,\theta )}$ , ${\displaystyle \mathrm {Gamma} (k,\theta )}$ , ${\displaystyle G(k,\theta )}$ [1]
Параметры	${\displaystyle k>0,\,\theta >0}$ - коэффициент масштаба
Носитель	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle x^{k-1}{\frac {e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle k\theta }$
Мода	${\displaystyle (k-1)\theta }$ , когда ${\displaystyle k\geq 1}$
Дисперсия	${\displaystyle k\theta ^{2}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle k+\ln(\theta )+\ln(\Gamma (k))}$ ${\displaystyle +(1-k)\psi (k)}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle (1-\theta \,t)^{-k}}$ , когда ${\displaystyle t<1/\theta }$
Характеристическая функция	${\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}}$

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр ${\displaystyle k}$ принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,}$ где ${\displaystyle \Gamma (k)}$ — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет гамма-распределение с параметрами ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle k}$ . Пишут ${\displaystyle X\thicksim \Gamma (k,\theta )}$ .

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ${\displaystyle X}$ , имеющей гамма-распределение, имеют вид

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=k{\theta }}$ ,

${\displaystyle \mathbb {D} [X]=k{\theta ^{2}}}$ .

Свойства гамма-распределения

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n}$ , то

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)}$ .

• Если ${\displaystyle X\thicksim \Gamma (k,\theta )}$ , и ${\displaystyle a>0}$ — произвольная константа, то

${\displaystyle aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )}$ .

• Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Гамма-распределение является распределением Пирсона типа III^[2].
• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

${\displaystyle \Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )}$ .

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda ),\;i=1,\ldots ,k}$ , то

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda )}$ .

• Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}},2\right)\equiv \chi ^{2}(n)}$ .

• Согласно центральной предельной теореме, при больших ${\displaystyle k}$ гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

${\displaystyle \Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})}$ при ${\displaystyle k\to \infty }$ .

• Если ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ — независимые случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2}$ , то

${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim \mathrm {\mathrm {B} } (k_{1},k_{2})}$ .

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение ${\displaystyle \Gamma (1,1)}$ совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то ${\displaystyle {-\ln U}\sim \Gamma (1,1)}$ .

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),}$

где U_i — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

1. Положить m равным 1.
2. Сгенерировать ${\displaystyle V_{2m-1}}$ и ${\displaystyle V_{2m}}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
3. Если ${\displaystyle V_{2m-1}\leq v_{0}}$ , где ${\displaystyle v_{0}={\frac {e}{e+\delta }}}$ , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
4. Положить ${\displaystyle \xi _{m}=\left({\frac {V_{2m-1}}{v_{0}}}\right)^{\frac {1}{\delta }},\ \eta _{m}=V_{2m}\xi _{m}^{\delta -1}}$ . Перейти к шагу 6.
5. Положить ${\displaystyle \xi _{m}=1-\ln {\frac {V_{2m-1}-v_{0}}{1-v_{0}}},\ \eta _{m}=V_{2m}e^{-\xi _{m}}}$ .
6. Если ${\displaystyle \eta _{m}>\xi _{m}^{\delta -1}e^{-\xi _{m}}}$ , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
7. Принять ${\displaystyle \xi =\xi _{m}}$ за реализацию ${\displaystyle \Gamma (\delta ,1)}$ .

Подытожим:

${\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),}$

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); U_i и V_l распределены как указано выше и попарно независимы.

Примечания

Литература

• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.