WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения ${\frac {df(x)}{dx}}={\frac {a_{1}x+a_{0}}{b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}}f(x)$ , где числа $a_{0},a_{1},b_{0},b_{1},b_{2}$ являются параметрами распределения.^[1] Частными случаями распределения Пирсона являются бета-распределение (распределение Пирсона I типа), гамма-распределение (распределение Пирсона III типа), распределение Стьюдента (распределение Пирсона VII типа), показательное распределение (распределение Пирсона X типа), нормальное распределение (распределение Пирсона XI типа). Распределения Пирсона широко используются в математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных. Для аппроксимации распределения вероятностей опытных данных численными методами вычисляют их первые четыре момента, а затем на их основе вычисляют параметры распределения Пирсона.^[2]

Свойства

Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами случайной величины. Пусть $\mu _{k}$ является $k$ центральным моментом случайной величины, имеющей распределение Пирсона. Тогда, если $a_{1}=1$ , то

a_{0}={\frac {\mu _{3}(\mu _{4}+3\mu _{2}^{2})}{A}}

,

b_{0}=-{\frac {\mu _{2}(4\mu _{2}\mu _{4}-3\mu _{3}^{2})}{A}}

,

b_{1}=-{\frac {\mu _{3}(4\mu _{2}\mu _{4}+3\mu _{2}^{2})}{A}}

,

b_{2}=-{\frac {2\mu _{2}\mu _{4}-3\mu _{3}^{2}-6\mu _{2}^{3}}{A}}

,

где $A=10\mu _{4}\mu _{2}-18\mu _{2}^{3}-12\mu _{3}^{2}$ .^[1]

Типы распределений Пирсона

В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}$ различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим $D=b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}$ , $\lambda ={\frac {b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}}$ .^[1]

I тип

Распределениями Пирсона I типа являются бета - распределения. Условия: $D<0$ , $\lambda <0$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(-\beta +x)b_{2}$ , $\alpha ,\beta >0$ Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2m}\beta ^{2n}}{(\alpha +\beta )^{m+n+1}B(m+1,n+1)}}(\alpha +x)^{m}(\beta -x)^{n},&x\in [-\alpha ,\beta ]\\0,&x\notin [-\alpha ,\beta ]\end{cases}}$ , где $B(m+1,n+1)={\frac {\Gamma (m+1)\Gamma (n+1)}{\Gamma (m+n+2)}}$ , $m>-1,n>-1$ .^[1]

II тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями $\alpha =\beta ,m=n$ .^[1]

III тип

Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения. Условия: $D<0$ , $\lambda =\infty$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=2(\alpha +x)b_{1}$ . Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {k^{m+1}}{\Gamma (m+1)}}(\alpha +x)^{m}e^{-k(\alpha +x)},&x>-\alpha ,k>0\\0,&x\leqslant -\alpha \end{cases}}$ .^[1]

IV тип

Условия: $D>0$ , $0<\lambda <1$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}$ . Плотность вероятности: $f(x)=c(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}$ , $x\in (-\infty ,\infty )$ , $m\geqslant {\frac {1}{2}}$ , где $c^{-1}=\int _{-\infty }^{\infty }(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}dx$ .^[3]

V тип

Условия: $D=0$ , $\lambda =1$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)^{2}b_{2}$ . Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {\gamma ^{m-1}}{\Gamma {m-1}}}x^{-m}e^{-{\frac {\gamma }{x}}},&\gamma >0,m>1,x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}$ .^[3]

VI тип

Условия: $D<0$ , $\lambda >1$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(x-\beta )b_{2}$ . Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {(\alpha +\beta )^{-(m+n+1)}}{B(-m-n-1,n+1)}}(x+\alpha )^{m}(x-\beta )^{n},&x>\beta ,m-1>0,n>-1\\0,&x\leqslant \beta \end{cases}}$ .^[3]

VII тип

Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента. Условия: $D>0$ , $\lambda =0$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}$ . Плотность вероятности: $f(x)={\frac {\alpha }{B(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}$ , $x\in (-\infty ,\infty )$ , $m\geqslant {\frac {1}{2}}$ .^[3]

VIII тип

Условия: $D<0$ , $\lambda <0$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}$ . Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],-1<m<0\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}$ .^[3]

IX тип

Условия: $D<0$ , $\lambda <0$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}$ . Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],m<-1\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}$ . ^[3]

X тип

Распределением Пирсона X типа является показательное распределение. Условия: $D=0$ , $\lambda =0$ , $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}$ , $a_{1}=0$ . Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}\gamma e^{-\gamma x},&x>0,\gamma >0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}$ ^[2]

XI тип

Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение. Условия: $D=0$ , $\lambda$ неопределённо, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}$ . Плотность вероятности: $f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}},x\in (-\infty ,\infty )$ .^[2]

XII тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями $\alpha =\beta ,m=-n$ .^[1]

Примечания

Литература

Королюк В.С., Портенко Н.И.,Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[_5872716a89a83134-1] 1 2 3 4 5 6 7 Королюк, 1985, с. 133.

[_5872716a89a83132-2] 1 2 3 Королюк, 1985, с. 135.

[_5872716a89a83133-3] 1 2 3 4 5 6 Королюк, 1985, с. 134.