Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения. Случайный вектор, имеющий многомерное нормальное распределение, называется гауссовским вектором[1].
Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
Частным случаем многомерного нормального распределения является двумерное нормальное распределение. В этом случае имеем две случайные величины с математическими ожиданиями , дисперсиями и ковариацией . В этом случае ковариационная матрица имеет размер 2, ее определитель равен
где — коэффициент корреляции случайных величин.
Тогда плотность двумерного невырожденного (коэффициент корреляции по модулю не равен единице) нормального распределения можно записать в виде:
Пусть - центрированные (с нулевым математическим ожиданием) случайные величины имеющие многомерное нормальное распределение, тогда моменты для нечетных равно нулю, а для четных вычисляется по формуле
где суммирование осуществляется по всевозможным разбиениям индексов на пары. Количество множителей в каждом слагаемом равно , количество слагаемых равно
Например, для моментов четвертого порядка в каждом слагаемом по два множителя и общее количество слагаемых будет равно . Соответствующая общая формула для моментов четвертого порядка имеет вид:
В частности если
При
При
Пусть случайные векторы и имеют совместное нормальное распределение с математическими ожиданиями , ковариационными матрицами и матрицей ковариаций . Это означает, что объединенный случайный вектор подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания и ковариационной матрицей, которую можно представить в виде следующей блочной матрицы
где .
Тогда случайный вектор при заданном значении случайного вектора имеет (многомерное) нормальное условное распределение со следующим условным математическим ожиданием и условной ковариационной матрицей
.
Первое равенство определяет функцию линейной регрессии (зависимости условного математического ожидания вектора от заданного значения x случайного вектора ), причем матрица — матрица коэффициентов регрессии.
Условная ковариационная матрица представляет собой матрицу ковариаций случайных ошибок линейных регрессий компонентов вектора на вектор . В случае если — обычная случайная величина (однокомпоненнтный вектор), условная ковариационная матрица — это условная дисперсия (по существу дисперсия случайной ошибки регрессии на вектор )
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .