Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.
Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < k < 1 плотность стремится к бесконечности при и строго убывает. Для k = 1 плотность стремится к 1/λ при и строго убывает. Для k > 1 плотность стремится к 0 при , возрастает до достижения своей моды и убывает после. Интересно отметить, что плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в x = 0 при 0 < k < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в x = 0 при 1 < k < 2, и нулевой угловой коэффициент в x = 0 при k > 2. При k = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в x = 0. При распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в x = λ. Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.
Существует множество выражений для производящей функции моментов самой
Так же можно работать непосредственно с интегралом
Если коэффициент k предполагается рациональным числом, выраженным k = p/q, где p и q целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.[1] С заменой t на -t, получается
Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:
или
Для 3-х параметрического:
Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё времени при условии, что он уже проработал .
График Вейбулла
Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла[2] . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — и Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде
Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.
Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя , где — это ранг точки данных, а — это общее количество точек.[3]
В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга
Связь с другими распределениями
3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности
где и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где — коэффициент формы, — коэффициент масштаба и — коэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.
1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая и :
Распределение Вейбулла может быть получено как функция от экспоненциального.
Если — экспоненциальное распределение для параметра , то случайная величина имеет распределение Вейбулла . Для доказательства рассмотрим функцию распределения :
Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла.
Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте
↑ Всемирная Метеорологическая Организация.Руководство по гидрологической практике.— 6.— Швейцария, 2012.— Т.2.— С.165.— ISBN 978-92-63-40168-7..
Литература
Fréchet, Maurice(1927),"Sur la loi de probabilité de l'écart maximum",Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie Т.6: 93–116.
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel&Balakrishnan, N.(1994),Continuous univariate distributions. Vol. 1(2nd ed.), Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7
Левин Б.Р.Справочник по надежности.— Справочник по надежности/Под ред. Левина Б.Р., в 3 томах, Т.1. М.: Мир, 1969 г., 339 с..— М.: Мир, 1969.— С.176.— 339с.
J. Cheng, C. Tellambura, and N. C. Beaulieu Performance analysis of digital modulations on Weibull fading channels / Proc. IEEE Veh. Technol. Conf. 2004.
Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.
2019-2024 WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии