WikiSort.ru - Не сортированное

Критерий согласия Пирсона или критерий согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ объёмом ${\displaystyle n}$ некоторому теоретическому закону распределения ${\displaystyle F(x,\theta )}$ . Свойства критерия были впервые исследованы Карлом Пирсоном в 1900 году^[1].

Критерий может использоваться при проверке простых гипотез вида

${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ ,

где ${\displaystyle \theta }$  — известный вектор параметров теоретического закона, и при проверке сложных гипотез вида

${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}}$ ,

когда оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ скалярного или векторного параметра распределения ${\displaystyle F(x,\theta )}$ вычисляется по той же самой выборке.

Статистика критерия

Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа ${\displaystyle \chi ^{2}}$ предусматривает группирование наблюдений. Область определения случайной величины разбивают на ${\displaystyle k}$ непересекающихся интервалов граничными точками

${\displaystyle x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)}}$ ,

где ${\displaystyle x_{(0)}}$  — нижняя грань области определения случайной величины; ${\displaystyle x_{(k)}}$  — верхняя грань.

В соответствии с заданным разбиением подсчитывают число ${\displaystyle n_{i}}$ выборочных значений, попавших в ${\displaystyle i}$ -й интервал, и вероятности попадания в интервал

${\displaystyle P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta )}$ ,

соответствующие теоретическому закону с функцией распределения ${\displaystyle F(x,\theta )}$ .

При этом

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1}$ .

При проверке простой гипотезы известны как вид закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$ , так и все его параметры (известен скалярный или векторный параметр ${\displaystyle \theta }$ ).

В основе статистик, используемых в критериях согласия типа ${\displaystyle \chi ^{2}}$ , лежит измерение отклонений ${\displaystyle n_{i}/n}$ от ${\displaystyle P_{i}(\theta )}$ .

Статистика критерия согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Пирсона определяется соотношением

${\displaystyle X_{n}^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{2}}{P_{i}(\theta )}}}$ .

В случае проверки простой гипотезы в пределе при ${\displaystyle n\to \infty }$ эта статистика подчиняется ${\displaystyle \chi _{r}^{2}}$ -распределению с ${\displaystyle r=k-1}$ степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$ . Плотность ${\displaystyle \chi _{r}^{2}}$ -распределения, которое является частным случаем гамма-распределения, описывается формулой

${\displaystyle g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}}$ .

Проверяемая гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$ отклоняется при больших значениях статистики, когда вычисленное по выборке значение статистики ${\displaystyle X_{n}^{2*}}$ больше критического значения ${\displaystyle \chi _{r,\alpha }^{2}}$ , или достигнутый уровень значимости (p-value)

${\displaystyle P\left(X_{n}^{2}>X_{n}^{2*}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}\int _{X_{n}^{2*}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds}$

меньше заданного уровня значимости (заданной вероятности ошибки 1-го рода) ${\displaystyle \alpha }$ .

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез, если параметры закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$ по этой же выборке оцениваются в результате минимизации статистики ${\displaystyle X_{n}^{2}}$ или по сгруппированной выборке методом максимального правдоподобия, то статистика ${\displaystyle X_{n}^{2}}$ при справедливости проверяемой гипотезы подчиняется ${\displaystyle \chi _{r}^{2}}$ -распределению с ${\displaystyle r=k-m-1}$ степенями свободы, где ${\displaystyle m}$  — количество оцененных по выборке параметров.

Если параметры оцениваются по исходной негруппированной выборке, то распределение статистики не будет являться ${\displaystyle \chi _{k-m-1}^{2}}$ -распределением^[2]. Более того, распределения статистики при справедливости гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ будут зависеть от способа группирования, то есть от того, как область определения разбивается на интервалы^[3]

При оценивании методом максимального правдоподобия параметров по негруппированной выборке можно воспользоваться модифицированными критериями типа ${\displaystyle \chi ^{2}}$ ^[4][5][6][7].

О мощности критерия

При использовании критериев согласия, как правило, не задают конкурирующих гипотез: рассматривается принадлежность выборки конкретному закону. А в качестве конкурирующей гипотезы — принадлежность любому другому. Естественно, что способность критерия отличать закон, соответствующий ${\displaystyle H_{0}}$ , от других, близких к закону, соответствующему ${\displaystyle H_{0}}$ , и далёких от него, отличаются. Если задать конкурирующую гипотезу ${\displaystyle H_{1}}$ и соответствующий ей некоторый конкурирующий закон ${\displaystyle F_{1}(x,\theta )}$ , то можно рассуждать уже об ошибках двух видов: не только об ошибке 1-го рода (отклонении проверяемой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ при её справедливости) и вероятности этой ошибки ${\displaystyle \alpha }$ , но и об ошибке 2-го рода (неотклонении ${\displaystyle H_{0}}$ при справедливости ${\displaystyle H_{1}}$ ) и вероятности этой ошибки ${\displaystyle \beta }$ ). Мощность критерия по отношению к конкурирующей гипотезе ${\displaystyle H_{1}}$ характеризуется величиной ${\displaystyle 1-\beta }$ . Критерий тем лучше распознаёт пару конкурирующих гипотез ${\displaystyle H_{0}}$ и ${\displaystyle H_{1}}$ , чем выше его мощность.

Мощность критерия согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Пирсона существенно зависит от способа группирования ^[8], ^[9] и от выбранного числа интервалов^[9], ^[10].

При асимптотически оптимальном группировании, при котором максимизируются различные функционалы от информационной матрицы Фишера по группированным данным (минимизируются потери, связанные с группированием) критерий согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Пирсона обладает максимальной мощностью относительно «(очень) близких» конкурирующих гипотез^[11],^[9],^[10].

При проверке простых гипотез и использовании асимптотически оптимального группирования критерий согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Пирсона имеет преимущество в мощности по сравнению с непараметрическими критериями согласия. При проверке сложных гипотез мощность непараметрических критериев возрастает и такого преимущества нет^[12],^[13]. Однако для любой пары конкурирующих гипотез (конкурирующих законов) за счет выбора числа интервалов и способа разбиения области определения случайной величины на интервалы можно максимизировать мощность критерия^[14].

Примечания

Литература

• Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.

См. также

• Критерий хи-квадрат
• Распределение хи-квадрат
• Квантили распределения хи-квадрат

Ссылки

• Критерий Пирсона на сайте Новосибирского государственного университета
• Критерии типа хи-квадрат на сайте Новосибирского государственного технического университета (Рекомендации по стандартизации Р 50.1.033-2001)