WikiSort.ru - Не сортированное

Распределение Пуассона
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \mathrm {P} (\lambda )}$
Параметры	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$
Носитель	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}$
Функция вероятности	${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle \lambda }$
Медиана	${\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }$
Мода	${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor }$
Дисперсия	${\displaystyle \lambda }$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle \lambda ^{-1/2}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle \lambda ^{-1}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}$
Характеристическая функция	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}$

Распределе́ние Пуассо́на — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение

Выберем фиксированное число ${\displaystyle \lambda >0}$ и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

${\displaystyle p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$ ,

где

• ${\displaystyle \lambda }$  — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
• ${\displaystyle k!}$ обозначает факториал числа ${\displaystyle k}$ ,
• ${\displaystyle e=2{,}718281828\ldots }$  — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина ${\displaystyle Y}$ имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием ${\displaystyle \lambda }$ , записывается: ${\displaystyle Y\sim ~\mathrm {P} (\lambda )}$ .

Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

${\displaystyle E_{Y}(t)=e^{\lambda \left(e^{t}-1\right)}}$ ,

откуда

${\displaystyle \mathbb {M} [Y]=\lambda }$ ,

${\displaystyle \mathbb {D} [Y]=\lambda }$ .

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

${\displaystyle \mathbb {M} Y^{[k]}=\lambda ^{k}}$ ,

где ${\displaystyle k=1,2,...}$

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {P} (\lambda _{i}),\;i=1,\ldots ,n}$ . Тогда

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}\sim \mathrm {P} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)}$ .

• Пусть ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {P} (\lambda _{i}),\;i=1,2}$ , и ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2}}$ . Тогда условное распределение ${\displaystyle Y_{1}}$ при условии, что ${\displaystyle Y=y}$ , биномиально. Более точно:

${\displaystyle Y_{1}\mid Y=y\sim \mathrm {Bin} \left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\right)}$ .

• C увеличением ${\displaystyle \lambda }$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\lambda }}}$ и сдвигом ${\displaystyle \lambda }$ . Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора ${\displaystyle \ln(\lambda /k)^{k}}$ в окрестности ${\displaystyle k=\lambda }$ и тем, что в пределах пика распределения ${\displaystyle {\sqrt {k}}\approx {\sqrt {\lambda }}}$ . Тогда получается

${\displaystyle p(k)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \lambda }}}\exp \left(-{\frac {(k-\lambda )^{2}}{2\lambda }}\right)}$

Асимптотическое стремление к распределению

Довольно часто в теории вероятности рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ , принимающих целочисленные значения, такую что для всякого ${\displaystyle k}$ выполнено ${\displaystyle P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$ .

Простейшим примером является случай, когда ${\displaystyle \xi _{n}}$ имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха ${\displaystyle {\frac {\lambda }{n}}}$ в каждом из ${\displaystyle n}$ испытаний.

История

Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах»^[2], в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году^[3]. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счетчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.^[4]

См. также

• Биномиальное распределение

Примечания

Литература

• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А.  Теория вероятностей и её инженерные приложения. 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — 480 с. — ISBN 978-5-406-00565-1. — С. 135.
• Винс, Ральф.  Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров = The mathematics of money management risk analysis techniques for traders. — М.: Альпина Паблишер, 2012. — 400 с. — ISBN 978-5-9614-1894-1.
• Пуассон С. Д.  Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. — Berlin: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. — 330 p. — ISBN 978-3-942944-29-8. [Poisson.pdf] (неопр.). Архивировано 1 ноября 2014 года.
• Guerriero V.  Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. — Journal of Modern Mathematics Frontier, 2012, 1. — P. 21—28.

Ссылки

• Распределение Пуассона — онлайн-калькулятор

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проверить достоверность указанной в статье информации. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.