Определение
Пусть есть случайная величина
с распределением
. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:
-
.
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:
-
,
то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.
Если случайная величина
принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве
, то её характеристическая функция имеет вид:
-
,
где
обозначает скалярное произведение в
.
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина
дискретна, то есть
, то
-
.
Пример. Пусть
имеет распределение Бернулли. Тогда
-
.
Если случайная величина
абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность
, то
-
.
Пример. Пусть
имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
-
.
Свойства характеристических функций
- Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть
есть две случайные величины, и
. Тогда
. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
- Характеристическая функция всегда ограничена:
-
.
- Характеристическая функция в нуле равна единице:
-
.
- Характеристическая функция всегда равномерно непрерывна:
.
- Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:
-
.
- Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть
суть независимые случайные величины. Обозначим
. Тогда
-
.
- Характеристическая функция эрмитова: для всех вещественных
верно равенство
, где
означает комплексно сопряжённую с
функцию[1].
- Теорема обращения (Леви). Пусть
- функция распределения, а
- её характеристическая функция. Если
и
- точки непрерывности
, то
-
- Характеристическая функция положительно определена: при каждом целом
для любых вещественных чисел
и любых комплексных чисел
выполняется неравенство
[2]. Здесь
означает комплексно сопряжённое к
число.
Обратное преобразование Фурье
Пусть дана случайная величина
, чья характеристическая функция равна
. Тогда
- если
дискретна и принимает целые значения, то
-
;
- если
абсолютно непрерывна, и
— её плотность, то
-
.
Необходимые и достаточные условия
Пусть
- непрерывная функция
и
. Для того, чтобы функция
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определённой функцией, то есть при каждом целом
для любых вещественных чисел
и любых комплексных чисел
выполняется неравенство
(Теорема Бохнера — Хинчина). Здесь
означает комплексно сопряжённое к
число[2].
Примечания
- ↑ Б. Рамачандран Теория характеристических функций, М., Наука, 1975
- 1 2 Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65
Литература
- Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972.