WikiSort.ru - Не сортированное

Геометрическое распределение

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \mathrm {Geom} (p)}$
Параметры	${\displaystyle n\geq 0}$ — число «неудач» до первого «успеха» ${\displaystyle 0<p\leq 1}$ — вероятность «успеха» ${\displaystyle \ q\equiv 1-p}$ — вероятность «неудачи»	${\displaystyle n\geq 1}$ — номер первого «успеха» ${\displaystyle 0<p\leq 1}$ — вероятность «успеха» ${\displaystyle \ q\equiv 1-p}$ — вероятность «неудачи»
Носитель	${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,\dots \}}$	${\displaystyle n\in \{1,2,3,\dots \}}$
Функция вероятности	${\displaystyle q^{n}p}$	${\displaystyle q^{n-1}p}$
Функция распределения	${\displaystyle 1-q^{n+1}}$	${\displaystyle 1-q^{n}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {q}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$
Медиана	N/A	N/A
Мода	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {q}{p^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {q}{p^{2}}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}$	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}$
Информационная энтропия	${\displaystyle -\log _{2}p-{\frac {q}{p}}\log _{2}{q}}$	${\displaystyle -\log _{2}p-{\frac {q}{p}}\log _{2}{q}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle {\frac {p}{1-qe^{t}}}}$	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle {\frac {p}{1-qe^{it}}}}$	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}}$

Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины, равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Определение

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$  — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

${\displaystyle X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i=1,2,\ldots }$

Построим случайную величину ${\displaystyle Y=\min \left\{i\mid X_{i}=1\right\}-1}$  — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины ${\displaystyle Y}$ называется геометрическим с вероятностью «успеха» ${\displaystyle p}$ , что обозначается следующим образом: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Geom} (p)}$ .

Функция вероятности случайной величины ${\displaystyle Y}$ имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=n)=q^{n}p,\;n=0,1,2,\ldots }$

Замечание

• Иногда полагают по определению, что ${\displaystyle X}$  — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму ${\displaystyle \mathbb {P} (X=n)=q^{n-1}p}$ . В таблице справа приведены формулы для обоих вариантов.
• Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

${\displaystyle M_{Y}(t)={\frac {p}{1-qe^{t}}}}$ ,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]={\frac {1}{p}}}$ ,

${\displaystyle \mathrm {D} [Y]={\frac {q}{p^{2}}}}$ .

Свойства геометрического распределения

• Из всех дискретных распределений с носителем ${\displaystyle \{1,2,3,\dots \}}$ и фиксированным средним ${\displaystyle \mu >1}$ геометрическое распределение ${\displaystyle \mathrm {Geom} (1/\mu )}$ является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
• Если ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ независимы и ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Geom} (p_{i}),\;i=1,\ldots ,n}$ , то

${\displaystyle Y=\min \limits _{i}(Y_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})\right)}$ .

• Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: ${\displaystyle \mathrm {Geom} (p)\equiv \mathrm {NB} (1,p)}$ .
• Если ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ независимы и ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Geom} (p),\;i=1,\ldots ,n}$ , то

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}\sim \mathrm {NB} (n,p)}$ .

Пример

Пусть игральная кость кидается до выпадания первой шестёрки. Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх бросков, равна

${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq 3)=\mathbb {P} (Y=1)+\mathbb {P} (Y=2)+\mathbb {P} (Y=3)=}$

${\displaystyle =\left({\frac {5}{6}}\right)^{\!0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{\!1}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{\!2}\left({\frac {1}{6}}\right)\approx 0{,}42}$ .

Ожидаемое число бросков равно

${\displaystyle \mathbb {E} (Y)+1={\frac {5/6}{1/6}}+1=6}$ .

Генерация случайных чисел

${\displaystyle g=FLOOR\left(-log_{2}\left({\frac {1-RAND()}{2}}\right)\right)}$ ,

где RAND() - равномерно распределенная случайная величина на (0,1], FLOOR(x) - функция округления до ближайшего целого, расположенного слева от x.

См. также

• Биномиальное распределение.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить достоверность указанной в статье информации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.