WikiSort.ru - Не сортированное

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается ${\displaystyle D[X]}$ в русской литературе и ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ или ${\displaystyle \displaystyle \sigma ^{2}}$ .

Квадратный корень из дисперсии, равный ${\displaystyle \displaystyle \sigma }$ , называется среднеквадрати́ческим отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на ${\displaystyle k}$ стандартных отклонений, составляет менее ${\displaystyle 1/k^{2}}$ . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть ${\displaystyle X}$  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

${\displaystyle D[X]=M\left[{\big (}X-M[X]{\big )}^{2}\right]}$

где символ ${\displaystyle M}$ обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2016 года.

• Если случайная величина ${\displaystyle X}$ дискретная, то

  ${\displaystyle D[X]=\sum _{i=1}^{n}{p_{i}(x_{i}-M[X])^{2}}}$ ,

  ${\displaystyle D[X]={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j<i}{p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}}}$ ,

где ${\displaystyle x_{i}}$  — ${\displaystyle i}$ -ое значение случайной величины, ${\displaystyle p_{i}}$  — вероятность того, что случайная величина принимает значение ${\displaystyle x_{i}}$ , ${\displaystyle n}$  — количество значений случайной величины.

• Если случайная величина ${\displaystyle X}$ непрерывна, то:

  ${\displaystyle D[X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{(x-M[X])^{2}f(x)dx}}$ ,

  ${\displaystyle D[X]={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x_{2}-x_{1})^{2}{f(x_{1})f(x_{2})dx_{1}dx_{2}}}$ ,

где ${\displaystyle f(x)}$  — плотность вероятности случайной величины.

• В силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

  ${\displaystyle D[X]=M[X^{2}]-\left(M[X]\right)^{2}}$

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов ${\displaystyle U(t)}$ :

  ${\displaystyle D[X]=M[X^{2}]-\left(M[X]\right)^{2}=U''(0)-\left(U'(0)\right)^{2}}$

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
• Удобная формула для вычисления смещённой оценки дисперсии (англ. biased sample variance) случайной величины ${\displaystyle X}$ по последовательности ${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$  — реализаций этой случайной величины:

  ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-{\dfrac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)}{n}}^{2}}{n}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}}{n}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}^{2}-{\bar {X}}^{2}\right)}{n}}}$

  где ${\displaystyle {\bar {X}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}}$  — несмещённая оценка ${\displaystyle M[X]}$ .

  Для получения несмещённой оценки дисперсии (англ. unbiased sample variance) правую часть вышеуказанного равенства необходимо умножить на ${\displaystyle {\frac {n}{n-1}}}$ . Несмещённая оценка обозначается ${\displaystyle {\widetilde {S}}^{2}}$ :

  ${\displaystyle {\widetilde {S}}^{2}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-{\dfrac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)}{n}}^{2}}{n-1}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}}{n-1}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}^{2}-{\bar {X}}^{2}\right)}{n-1}}}$

Свойства

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2016 года.

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: ${\displaystyle D[X]\geqslant 0;}$
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: ${\displaystyle D[a]=0.}$ Верно и обратное: если ${\displaystyle D[X]=0,}$ то ${\displaystyle X=M[X]}$ почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  ${\displaystyle D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)}$ , где ${\displaystyle {\text{cov}}(X,Y)}$  — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  ${\displaystyle D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})}$ , где ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$ ;

• В частности, ${\displaystyle D[X_{1}+...+X_{n}]=D[X_{1}]+...+D[X_{n}]}$ для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• ${\displaystyle D\left[aX\right]=a^{2}D[X];}$
• ${\displaystyle D\left[-X\right]=D[X];}$
• ${\displaystyle D\left[X+b\right]=D[X].}$

Пример

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2016 года.

Пусть случайная величина ${\displaystyle \displaystyle X}$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на ${\displaystyle \displaystyle [0,1],}$ то есть её плотность вероятности задана равенством

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.}$

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

${\displaystyle M\left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}},}$

и математическое ожидание случайной величины

${\displaystyle M\left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}.}$

Тогда дисперсия случайной величины

${\displaystyle D[X]=M\left[X^{2}\right]-(M[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.}$

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение

Примечания

Литература

• Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259.
• Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.