Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы
- для неопределённого интеграла
-
или в другой записи
-
- для определённого интеграла
-
Предполагается, что нахождение интеграла
проще, чем
. В противном случае применение метода не оправдано.
Получение формул
Для неопределённого интеграла
Функции
и
гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:
-
Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:
-
Операция интегрирования обратна дифференцированию:
-
После перестановок:
-
Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.
Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:
-
Отсюда «следствие»:
, что очевидно неверно.
Для определённого интеграла
В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:
-
-
-
Данные формулы справедливы, если каждая из функций
и
непрерывно дифференцируема на области интегрирования.
Примеры
-
-
- Иногда этот метод применяется несколько раз:
-
-
- Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:
-
-
- В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
-
-
-
-
- Таким образом один интеграл выражается через другой:
-
- Решив полученную систему, получаем:
-
-
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .