WikiSort.ru - Не сортированное

Определение

Корень кратности ${\displaystyle k}$ многочлена ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}}$  это число ${\displaystyle c}$ , такое что этот многочлен делится без остатка на ${\displaystyle (x-c)^{k}}$ , но не на ${\displaystyle (x-c)^{k+1}}$ .

Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=0}$

интегрируется следующим образом:

Пусть ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$  — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

${\displaystyle a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}$

кратностей ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{k}}$ , соответственно, ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+\dots +m_{k}=n}$ .

Тогда функции

${\displaystyle t^{\nu }e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1}$

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней ${\displaystyle \lambda _{j}=\alpha _{j}\pm i\beta _{j},\ \ 1\leq j\leq k}$ можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

${\displaystyle t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\dots k}},\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1}$

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

${\displaystyle a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0}$

интегрируется следующим образом:

Пусть ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$  — корни характеристического уравнения

${\displaystyle a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0}$ ,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта ${\displaystyle \Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}$ :

• при ${\displaystyle \Delta >0}$ уравнение имеет два различных вещественных корня

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha _{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a_{2}}}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t}}$

• при ${\displaystyle \Delta =0}$  — два совпадающих вещественных корня

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t}}$

• при ${\displaystyle \Delta <0}$ существуют два комплексно сопряженных корня

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |}}{2a_{2}}}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)}$

Вид общего решения неоднородного уравнения

Если дано частное решение неоднородного уравнения ${\displaystyle y_{0}(t)}$ , и ${\displaystyle y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)}$  — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

${\displaystyle y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),}$

где ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$  — произвольные постоянные.

Принцип суперпозиции

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

${\displaystyle f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)}$ ,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

${\displaystyle y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)}$ ,

где ${\displaystyle y_{0j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2}}}$ являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями ${\displaystyle f_{j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2}}}$ , соответственно.

Частный случай: квазимногочлен

В случае, когда ${\displaystyle f(t)}$  — квазимногочлен, то есть

${\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)}$

где ${\displaystyle p(t),\ q(t)}$  — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t))t^{s}}$

где

• ${\displaystyle P(t),\ Q(t)}$ многочлены, ${\displaystyle deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))}$ , коэффициенты которых находятся подстановкой ${\displaystyle y_{0}(t)}$ в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
• ${\displaystyle s}$ является кратностью комплексного числа ${\displaystyle w=\alpha +i\beta }$ , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

${\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t}}$

где ${\displaystyle p(t)}$  — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s}}$

Здесь ${\displaystyle P(t)}$  — многочлен, ${\displaystyle deg(P)=deg(p)}$ , с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой ${\displaystyle y_{0}(t)}$ в уравнение. ${\displaystyle s}$ является кратностью ${\displaystyle \alpha }$ , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

${\displaystyle f(t)=p(t)}$

где ${\displaystyle p(t)}$  — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=P(t)t^{s}}$

Здесь ${\displaystyle P(t)}$  — многочлен, ${\displaystyle deg(P)=deg(p)}$ , а ${\displaystyle s}$ является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.