WikiSort.ru - Не сортированное

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция, возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина $X$ примет определённое значение. Например, пусть $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ функция вероятности, тогда вероятность того что $X$ примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения $X=13$ в функцию $p(X)=p(13)$ , которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 - это означает, что $X$ будет принимать значения равные 13 в 50% всех исходов.

Функция вероятности - это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Стоит обратить внимание, что функция вероятности отличается от плотности вероятности в том, что последняя используется для вычисления вероятностей в случае непрерывной случайной величины; значения же самой функции плотности не вычисляются простой подстановкой значений $X$ в качестве аргумента (как было показано выше в дискретном случае), а должны наоборот быть проинтегрированы над интервалом значений, которые может принимать $X$ .

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть $\mathbb {P}$ является вероятностной мерой на $\mathbb {R} ^{n}$ , то есть определено вероятностное пространство $\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)$ , где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ обозначает борелевскую σ-алгебру на $\mathbb {R} ^{n}$ .

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель $\mathbb {P}$ не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ такое, что $\mathbb {P} (X)=1$ .

Определение 2. Функция $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ , определённая следующим образом:

p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X\end{matrix}}\right.

называется функцией вероятности $\mathbb {P}$ . Здесь важно понимать, что $\mathbb {P}$ - это функция определённая на множествах, а не на числах, в то время как $p(x)$ , будучи определённой через $\mathbb {P}$ , уже является функцией определённой над числами.

Функция вероятности случайной величины

Определение 3. Пусть $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует(наводит) вероятностную меру $\mathbb {P} ^{X}$ на $\mathbb {R} ^{n}$ , называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности $p_{X}$ случайной величины $X$ имеет вид:

p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)

.

или короче

p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N}

,

где $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}\subset {\mathbb {R} ^{n}}$ .

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидно следует:

$p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$ .
$\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$ .
Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')

.

Если $X=(X_{1},X_{2})$ , то

\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1})

,

\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2})

,

где $p_{X_{1},X_{2}}$ — функция вероятности вектора $(X_{1},X_{2})$ , а $p_{X_{i}}$ — функция вероятности величины $X_{i},\;i=1,2$ . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности $n>2$ .

Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:

\mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i}

,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

См. также

Плотность вероятности

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии