WikiSort.ru - Не сортированное

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

Случайная величина ${\displaystyle Y}$ называется бесконечно делимой, если для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ она может быть представлена в виде

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}}$ ,

где ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}}$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

• Характеристическая функция ${\displaystyle \phi _{Y}(t)}$ бесконечно делимой случайной величины ${\displaystyle Y}$ имеет вид:

${\displaystyle \phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)}$ .

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Примеры

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

• Пусть задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)}$ , где

${\displaystyle m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$

для некоторого ${\displaystyle \lambda >0}$ . Тогда случайная величина ${\displaystyle X:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ , имеющая вид

${\displaystyle X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N} }$

не является бесконечно делимой.

См. также

• Устойчивое распределение.

Литература

• Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.