Двойной ряд — числовая последовательность, задаваемая парой целых положительных чисел, рассматриваемая с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда[1].
Определение
Пусть
— числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности
Вообще, для обозначения ряда используется символ:
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда:
- числовой двойной ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд
сходится и имеет сумму
, если, каково бы ни было
, найдутся такие числа
и
, что при
и
выполняется неравенство
. Также условие сходимости двойного ряда к сумме
можно записать в виде
.
- числовой двойной ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
- числовой двойной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если числовой ряд сходится, то предел
последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
Свойства
- Пусть в сходящемся двойном ряде
с суммой
сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах
и
. Тогда
. Аналогично, если существуют пределы
и
. Тогда
[2].
- Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде
сходятся все строки
и все столбцы
. Обозначим сумму строк
.
Тогда:
- е остатки строк
образуют сходящийся ряд
с некоторой суммой
.
- Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов
необходимо и достаточно существование предела
.
- Для равенства
необходимо и достаточно, чтобы было
[3].
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .