Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.
Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.
Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда.
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1].
Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится. Если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно.
Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!).
Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
Критерий абсолютной сходимости
Ряд из действительных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся два ряда: ряд из положительных его членов и ряд из отрицательных членов.
Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
(1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
(1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд (1.2) расходится.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд
,
а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды
Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.
2019-2024 WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии