WikiSort.ru - Не сортированное

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 27 марта 2015 года.

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

История возникновения понятия

В 1905 году Анри Лебег опубликовал свой курс, посвящённый интегральному исчислению. В нём французский математик обстоятельно рассмотрел понятие интеграла, осветил его эволюцию с момента изобретения этого понятия Ньютоном и Лейбницем до начала 20 века. В конце этого курса Лебег приводит своё определение интеграла. Приведённая им конструкция впоследствии станет известна под названием интеграл Лебега.

Такие термины, как сигма-алгебра, борелевские множества появились уже в трудах Лебега с отсылкой к работам Бореля, который ранее уже исследовал вопросы топологии прямой и понял, что исследуемые им множества также имеют значение для аксиоматизации теории вероятности.

Андрей Колмогоров в своей работе "Основные понятия теории вероятностей и исчисления вероятности" вводит систему аксиом, известную ныне как аксиоматика Колмогорова, которая описывает схему, позволяющую работать с широким классом случайных процессов не описываемых существовавшими до этого преимущественно дискретными схемами.

Колмогоров отмечает, что Лебег своей работой показал всем новую грань понятия интеграла - с его помощью можно определить математическое ожидание случайной величины в случае континуальной мощности множества элементарных исходов, а также в случае континуального непрерывного времени. Аксиомы Колмогорова позволяют отделить множества, на которых можно использовать аппарат современной теории вероятностей. Множествами, для которых заранее неизвестно, выполняются ли на них некоторые из аксиом, занимается математическая статистика, которая выносит заключение о применимости аксиоматики исходя из наблюдаемой выборки элементов множества.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ (иногда обрамляемая угловыми скобками: ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ ), где

• ${\displaystyle \Omega }$  — это произвольное непустое множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$  — сигма-алгебра подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ , называемых (случайными) событиями;
• ${\displaystyle \mathbb {P} }$  — вероятностная мера или вероятность, то есть сигма-аддитивная конечная мера, такая что ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$ .

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть ${\displaystyle \Omega }$  — конечное множество, содержащее ${\displaystyle \vert \Omega \vert =n}$ элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ . Его часто символически обозначают ${\displaystyle 2^{\Omega }}$ . Легко показать, что общее число членов этого семейства, то есть число различных случайных событий, как раз равно ${\displaystyle 2^{\vert \Omega \vert }}$ , что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:

${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {n_{A}}{n}}}$ ,

где ${\displaystyle A\subset \Omega }$ , и ${\displaystyle \vert A\vert =n_{A}}$  — число элементарных исходов, принадлежащих ${\displaystyle A}$ . В частности, вероятность любого элементарного события:

${\displaystyle \mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\;\forall \omega \in \Omega .}$

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба (${\displaystyle \Gamma }$ ) и выпадение решки (${\displaystyle \mathrm {P} }$ ), то есть ${\displaystyle \Omega =\{\Gamma ,\mathrm {P} \}.}$ Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{\{\Gamma \},\{\mathrm {P} \},\{\Gamma ,\mathrm {P} \},\varnothing \},}$ и вероятность можно посчитать следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {P} (\{\Gamma \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\mathrm {P} \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\Gamma ,\mathrm {P} \})=1,\;\mathbb {P} (\varnothing )=0.}$

Таким образом определена тройка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$  — вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.