WikiSort.ru - Не сортированное

Свойства

• Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.
• Абсолютно непрерывные функции образуют векторное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.
• Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
• Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
• Пусть ${\displaystyle F}$ абсолютно непрерывная функция на ${\displaystyle [a,b]}$ . Тогда она почти всюду дифференцируема; обобщённая производная ${\displaystyle F'}$ интегрируема по Лебегу и для всех ${\displaystyle x\in [a,b]}$ выполняется равенство:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)}$ .

• Обратно, функция, имеющая на интервале интегрируемую по Лебегу обобщённую производную, является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества лебеговой меры ноль.
• Если функция ${\displaystyle f(x)}$ абсолютно непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle F(y)}$ абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения ${\displaystyle f(x)}$ , то для того, чтобы суперпозиция ${\displaystyle F[f(x)]}$ была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией (теорема Фихтенгольца).
• Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина.

Примеры

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

• функция Кантора;
• функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

на конечных интервалах, содержащих 0;

• функция ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ на неограниченных интервалах.