Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.
Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает вещественная прямая.
Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.
Названа в честь Эмиля Бореля.
Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.
Рассмотрим функцию на отрезке , где — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Также измерима обратная к ней функция. Мера образа канторова множества равна , а значит, мера образа его дополнения тоже равна . Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество . Тогда его прообраз будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении).
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .