Определение
Пусть
и
— два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция
называется
-измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из
принадлежит
, то есть
-
где
означает полный прообраз множества
.
Замечания
- Если
и
— топологические пространства, и алгебры
и
явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
- Смысл данного определения в том, что если на множестве
задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество
.
Вещественнозначные измеримые функции
Пусть дана функция
. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:
- Функция
измерима, если
-
.
- Функция
измерима, если
-
, таких что
, имеем
,
- где
обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.
Связанные определения
- Пусть
и
— две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция
называется борелевской.
- Измеримая функция
, где
— множество элементарных исходов, а
— σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой
.
Примеры
- Пусть
— непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
- Пусть
и
— индикатор множества
Тогда функция
не является измеримой.
Свойства
- Теорема Лузина. Функция
измерима тогда и только тогда, когда для любого
существует непрерывная функция
отличающаяся от
на можестве меры не больше
.
История
В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов.
К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию.
В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега.
Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода.
В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.
Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др.
Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.
Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
- Медведев Ф. А. К истории понятия измеримой функции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 481-492.
- Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .