WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Основания математики — математическая система[нет в источнике], разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин[1].[источник не указан 87 дней (обс.)] Основания математики включают в себя три компонента[2][нет в источнике].

  1. Первичные математические объекты максимальной общности (не определяемые через другие математические объекты).
  2. Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными.
  3. Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений другие, столь же истинные.[источник не указан 87 дней (обс.)]

К основаниям математики относят также исследования, касающиеся непротиворечивости, независимости, полноты и других важных свойств указанных аксиом. Вопрос об основаниях математики составляет одну из центральных проблем философии математики[3].

Исторически первой (по крайней мере, из дошедших до нас трудов) версией оснований математики были «Начала» Евклида (III век до н. э.), где в качестве первичных объектов выступали натуральные числа и геометрические величины. Позднее система Евклида подверглась критическому пересмотру, который затронул все её компоненты — первичные объекты, аксиомы и логические правила доказательств[4]. Были предложены новые, строго формализованные системы, различающиеся своим философским подходом и пониманием сущности математического знания. Все эти системы были предназначены для обеспечения надёжности математических утверждений, однако оказалось, что вопрос о надёжности и непротиворечивости самих оснований вызвал немало проблем и даже логических противоречий. В ходе логического анализа были обнаружены принципиальные ограничения возможностей формальных систем; среди математиков возникли также разногласия по поводу того, какие аксиомы и какие логические средства вывода допустимы (или недопустимы) в аксиоматике оснований[3].

Общепризнанных оснований математики не существует, и «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения»[5][источник не указан 87 дней (обс.)]. Более того, нет общепризнанного содержания математики — такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования, поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит только от личного мнения математика.[источник не указан 87 дней (обс.)]

Современная математика преимущественно опирается на систему Цермело — Френкеля или её аналоги, которые первичными объектами признают множества. Исследования в этой области продолжаются, хотя существует и мнение, что обоснование может быть полезно для развития отдельных математических теорий или философии, но математика в целом ни в каком обосновании не нуждается[6].

Назначение

Каждая современная математическая теория имеет аксиоматические основания, которые могут быть явно перечислены (как в определении группы) или неявно встроены в определения и свойства основных понятий (как в определении топологического пространства). Однако ещё античные математики поставили цель дать всем математическим теориям общие основания, которые обеспечат надёжность конкретным теориям, прояснят их структуру, свойства и взаимосвязи с другими теориями.

Необходимость в разработке оснований математики вытекает из особенностей понятия истины в математике. В других науках истинность утверждений доказывается разными способами, в зависимости от специфики науки — практической проверкой, наблюдениями, классификацией, статистическим анализом и т. д. Математика, кроме самых древних её разделов, не имеет непосредственной связи с практикой — в природе нет, скажем, аналогов разложения целого числа на простые множители или перехода к пределу.[источник не указан 69 дней] В математике истинным считается утверждение (теорема), которое может быть выведено с помощью общепринятых логических рассуждений из других теорем, истинность которых уже доказана. Такой подход требует наличия начальной непротиворечивой системы утверждений (аксиом), истинность которых принимается без доказательства[7][8]. Кроме того, логическое доказательство также не должно вызывать никаких сомнений в его ясности, полноте и надёжности[9].

Таким образом, теория, претендующая на статус оснований математики, должна предоставлять свободный от противоречий набор базовых понятий, достаточный для описания и вывода основ других областей математики. В случае, когда несколько теорий в той или иной степени удовлетворяют этому требованию, принимаются во внимание дополнительные критерии выбора оснований математики: желательно, чтобы основания математики предоставляли как можно более широкие возможности для построения математических теорий как можно более простым, естественным и элегантным способом. Выбор конкретных критериев неоднозначен, как и выбор трактовки «естественности» и других критериев. Исследование этих вопросов лежит на грани математики и философии математики[10].

История

Дошедшие до наших дней математические труды египетских и вавилонских математиков содержат только алгоритмы вычислений, разъясняемые на практических примерах. Никаких доказательств в них нет; неясно, каким образом открывались и обосновывались результаты, и обосновывались ли вообще. В трудах математиков Древнего Китая встречаются отдельные доказательства алгебраических и геометрических утверждений, однако единой системы логически связанных знаний они не образуют[11][12].

Античный период

Само понятие обоснования математики могло появиться только тогда, когда была создана целостная система математических знаний, основанная на логическом (дедуктивном) выведении одних математических истин из других (в конечном счёте — из не вызывающих сомнений аксиом). Идейные мотивы древнегреческой математики разработала пифагорейская школа, которая ввела логическое доказательство как необходимый компонент математической теории и разработала методологию доказательства, в том числе «доказательство от противного»[13]. Базовыми объектами пифагорейцев были натуральные числа (дроби у них считались не числами, а пропорциями). Философской основой пифагорейской математики было убеждение в том, что Вселенная была создана по математическому плану, «всё есть число», из чего следовало, что законы природы познаваемы, существует только одна математика, и она содержит систему абсолютных, вечных истин. Неизменно успешное применение математики в астрономии (особенно предсказание затмений), в музыке, оптике и землемерии считалось подтверждением этих взглядов. Платон пошёл даже дальше и провозгласил, что математические объекты реальны в неком идеальном «мире идей», тенью которого является мир, воспринимаемый нашими органами чувств[14].

Геометрические исследования пифагорейцев, основанные на идеализированных понятиях точек, линий и других фигур, вызвали ещё в V веке до н. э. критику со стороны Зенона Элейского, который своими апориями поставил вопрос — как реальный путь движения может состоять из непротяжённых точек. Эта проблема (дискретность или непрерывность пространства и времени) обсуждается в философии науки до сих пор[15][16].

В V веке до н. э. разразился первый кризис оснований математики[17] — пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение ( ) нельзя выразить ни натуральным числом, ни дробью. Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский — он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции, аналогичные числовым[3].

Постулаты Евклида

Первой целостной системой оснований математики стали «Начала» Евклида (III век до н. э.), надолго ставшие образцом математической теории и фундаментом последующих достижений (о предшественниках Евклида, которые несомненно существовали, практически ничего не известно). Этот труд, следуя Евдоксу, положил в основу математики вместо арифметики геометрию. Правила логического вывода были ранее, в IV веке до н. э., подробно изложены Аристотелем. В первой книге «Начал» Евклид даёт 14 аксиом геометрии и арифметики (первые пять часто называют постулатами), затем из них логически выводятся многочисленные теоремы. Каждая теорема выводится либо из аксиом, либо из других теорем (истинность которых ранее уже была доказана), и согласно законам логики Аристотеля новая теорема также является истинной. Теория величин Евдокса (по существу, краткий вариант современной теории вещественных чисел) изложена Евклидом в пятой книге его «Начал» и использовалась в Европе до XVII века. Арифметика величин моделировалась Евклидом на основе действий с отрезками, прямоугольниками и параллелепипедами[3][18].

Уже в античные времена были критически отмечены недостатки евклидовского труда — например, Архимед обосновал необходимость добавить «аксиому Архимеда» (которую сформулировал ещё Евдокс). Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось[19]. Количество аксиом у Евклида оказалось явно недостаточным, многие его рассуждения опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения, которое неявно используется во многих местах — например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал — возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности». Аксиоматика Евклида не позволяет обосновать важные для доказательств факты — например, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника, или что две окружности радиуса R, чьи центры находятся на расстоянии R, пересекаются в двух точках[20].

Сама идея построения числовой арифметики на основе геометрии оказалась стратегической ошибкой — начиная с аналитической геометрии Декарта (XVII век), математики поступают наоборот и решают геометрические задачи с помощью числовых уравнений[18][21].

Европа в XVII—XVIII веках. Второй кризис оснований

Европейские учёные Средневековья и начала Нового времени разделяли античные идеи о том, что в основу установленных свыше законов природы были положены математические принципы. Это означало, что люди не создают математические теории, а открывают те, что изначально были встроены в мироздание, поэтому математика единственна, неоспорима, а её истины абсолютны[22]. Рене Декарт в 1637 году писал: «Из всех, кто когда-либо занимался поиском истины в науках, только математикам удалось получить некие доказательства, то есть указать причины, очевидные и достоверные»; математику он называл «сущностью всех наук». Аналогичных взглядов придерживались Галилео Галилей, Блез Паскаль, Исаак Ньютон и другие основоположники физики. К этому моменту математика далеко переросла античную тематику — появились новые теории, новые виды чисел, другие математические объекты, обоснование которых вначале излагалось на интуитивном уровне или вовсе отсутствовало[23].

В конце XVII века произошло грандиозное событие в истории математики — Ньютон и Лейбниц создали мощные и чрезвычайно плодотворные методы математического анализа, который тогда называли «анализом (или исчислением) бесконечно малых». Сфера применения математики в самых разных науках многократно расширилась, методы её существенно углубились, и при этом результаты применения остались по-прежнему неоспоримо верными. Однако техника тогдашнего анализа существенно опиралась на алгебраические операции с новым математическим объектом — бесконечно малыми величинами, смысл которых пояснялся в довольно туманных выражениях[24]. Техника эта была довольно противоречивой — в ходе расчёта с бесконечно малыми сначала обращались как с ненулевыми числами (например, делили друг на друга), в конце же их приравнивали нулю. Новому разделу математики требовалось найти столь же строгое, как у Евклида, обоснование, однако оно появилось только полтора века спустя, в начале XIX века[25].

Состояние анализа в конце XVII — начале XIX века многие историки называют «вторым кризисом оснований математики». Крупнейшие математики этого периода — Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие — пытались дать строгое определение понятию «бесконечно малое», но ни одно из этих определений не было общепризнано как убедительное[17][нет в источнике]. В 1784 году Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее объяснение того, «каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения» о существовании бесконечно малых. Удовлетворительного ответа на этот вопрос получено не было. Вольтер иронически определил анализ как «искусство считать и точно измерять то, существование чего непостижимо для разума»[26].

Непрерывность функции в этот период понималась чисто интуитивно, теория вещественных чисел отсутствовала. Нечёткость оснований анализа, как выяснилось в XIX веке, привела к многочисленным ошибкам — высказывались и даже доказывались ошибочные теоремы, в других случаях чересчур широко формулировались условия теорем. Например, Андре Мари Ампер и Жозеф Луи Франсуа Бертран доказывали, что любая непрерывная функция дифференцируема, сходимость используемых рядов не проверялась. Нильс Хенрик Абель даже в 1826 году жаловался в письме: «В высших разделах анализа имеется лишь несколько теорем, доказанных с более или менее приемлемой строгостью»[27].

Влиятельный философ Кант попытался дать своё обоснование. По мнению Канта, математика открывает законы не внешнего мира, а человеческого разума, который упорядочивает природу по собственным, встроенным от рождения правилам. Аксиомы математики тогда не более чем способ организации чувственного опыта, присущий человеку. В частности, по этой причине евклидова геометрия является единственно мыслимой геометрией[28].

XIX век

В XIX веке вера в то, что законы математики составляют своего рода «идейный скелет» мироздания, пошатнулась[22]. Серьёзным ударом по этому мнению стали открытия XIX века — неевклидова и риманова геометрия, необычные типы чисел (особенно комплексные числа и кватернионы). Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом. Всё это наводило на мысль, что выбор базовых структур математики менее однозначен и более субъективен, чем представлялось ранее[29][30].

Аксиоматизация математики

К началу XIX века относительно строгое логическое обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда справедливо считалась недостаточной. В первой половине XIX века Огюстен Луи Коши наконец дал ясное обоснование анализа на основе понятия предела; при этом бесконечно малые из особого вида чисел превратились в переменные, сходящиеся к нулю. Подход Коши, правда, был ещё не вполне строгим, поскольку не включал теорию вещественных чисел. Возможно, поэтому и сам Коши не избежал ошибок — например, он был уверен, что сумма ряда непрерывных функций непрерывна и что интегрировать такие ряды всегда можно почленно. Завершил основания анализа полвека спустя Карл Вейерштрасс. В 1837 году Уильям Роуэн Гамильтон полностью легализовал отрицательные и комплексные числа, описав их строгие модели с помощью пар чисел. Сильное влияние на философию математики оказало также открытие и обоснование неевклидовой геометрии как полноценной альтернативы евклидовой[31][32].

Во второй половине XIX века произошли два важнейших события — создание теории множеств и математической логики, это позволило поставить обоснование математики на качественно новый уровень строгости. В 1879 году Фреге опубликовал систему аксиом математической логики, в 1880-е годы Пеано предложил строгую систему аксиом для натуральных чисел, а Дедекинд — для вещественных[33][34]. В 1899 году вышла в свет классическая монография Гильберта «Основания геометрии», в которой все недостатки евклидовой аксиоматики были устранены. Использованный Гильбертом в этой книге подход стал общепринятым и получил название «метаматематика»[35]. В итоге к концу XIX века почти вся математика была построена на базе строгой аксиоматики (аксиоматика теории вероятностей появилась только в 1929 году).

Теория множеств и третий кризис оснований математики

Георг Кантор

В 1873 году Георг Кантор ввёл понятие произвольного (конечного или бесконечного) числового множества, а затем и общее понятие множества — предельно абстрактного понятия в математике. С помощью взаимно-однозначных отображений он ввёл понятие равномощности множеств, потом определил сравнение мощностей на больше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине их мощности: конечные, счётные, континуальные и т. д. Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали[36].

На первых порах теория множеств встретила у многих (хотя далеко не у всех) математиков доброжелательный приём. Она помогла обобщить жордановскую теорию меры, успешно использовалась в теории интеграла Лебега и многими рассматривалась как будущая основа всей математики. Однако последующие события показали, что привычная логика не годится при исследовании бесконечных объектов, а интуиция не всегда помогает сделать правильный выбор. Первое противоречие обнаружилось при рассмотрении самого большого множества — множества всех множеств (1895). Его пришлось исключить из математики как недопустимое. Однако появились и другие противоречия (антиномии)[37].

Анри Пуанкаре, который вначале принял теорию множеств и даже использовал в своих исследованиях, позже решительно отверг её и назвал «тяжёлой болезнью математики». Другая группа математиков, включая Рассела и Гильберта, выступила, с некоторыми оговорками, в защиту «канторизма»[38]. Во избежание парадоксов Рассел (1905), Пуанкаре (1906), а вслед за ними Герман Вейль (1918), потребовали, чтобы все определения и аксиомы математики были предикативными, то есть определяемый математический объект X не должен задаваться или описываться через класс объектов, содержащий X, потому что тогда получается порочный круг и возможны противоречия. Анализ этого требования показал, что оно, с одной стороны, недостаточно, так как не предотвращает полностью появления парадоксов, а с другой стороны, делает незаконными некоторые классические определения, например точной верхней и нижней границы множества[39][40].

Создавшееся положение многими расценивалось как третий кризис оснований математики. Положение усугубило открытие «аксиомы выбора» (1904, Цермело), которая, как оказалось, неосознанно применялась во многих математических доказательствах (например, в теории вещественных чисел). Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно[источник не указан 87 дней (обс.)], и это обстоятельство ряд математиков (среди них Эмиль Борель и Феликс Бернштейн) посчитал совершенно неприемлемым, тем более что некоторые следствия аксиомы выбора противоречили интуиции (парадокс Банаха — Тарского и др.). В отношении аксиомы выбора у математиков имеются четыре возможности: принять, отвергнуть, принять в ограниченном виде (например, только аксиому счётного выбора) или принять альтернативную аксиому детерминированности. При этом нет убедительных объективных оснований предпочесть один из этих вариантов. Все эти споры поставили трудный вопрос — что вообще означает в математике понятие «существования»? Например, было доказано, что поле вещественных чисел можно вполне упорядочить, но какое-либо описание этого порядка отсутствует[41][42].

XX век

Основные направления разработки оснований математики

В начале XX века удалось согласовать аксиоматику теории множеств, свободную от обнаруженных ранее противоречий, так что большинство математиков приняли теорию множеств. Тем не менее былого единства математики больше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды на обоснование математики. Историки выделяют четыре основных направления поисков общеприемлемых оснований математики, которые в первой половине XX века вели между собой непримиримую полемику[3].

Логицизм
Principia Mathematica

Идеи логицизма Бертран Рассел изложил в своей совместной с Альфредом Уайтхедом трёхтомной монографии «Principia Mathematica» (1910—1913), которая внесла заметный вклад в развитие математической логики. Логицизм утверждает, что математика и логика — единое целое, то есть понятий и законов логики достаточно не только для вывода теорем, но и для определения математических понятий. Первым сходные взгляды высказал Готлоб Фреге (1884). В книге Рассела и Уайтхеда авторы дают аксиомы логики, первичными (неопределяемыми) понятиями служат высказывания, истинность, логические операции, пропозициональные функции[43].

Авторы последовательно выводят из аксиом основное содержание математической логики, затем переходят к классам (множествам). Задав некоторое свойство с помощью пропозициональной функции, можно определить конкретное множество (носителей этого свойства). В отношении множеств аксиоматика Рассела и Уайтхеда включает в себя аксиому выбора и аксиому бесконечности (последняя обеспечивает существование бесконечных множеств). Во избежание парадоксов авторы сразу запрещают множества, содержащие самих себя, с помощью специально построенной ими «теории типов». Множества и высказывания строго разделяются по уровню их типов, произвольное смешение типов невозможно. Такая организация исключает все известные парадоксы, однако значительно усложняет формулировки, поскольку, например, натуральные и вещественные числа имеют разные типы. Для решения этой проблемы Рассел и Уайтхед ввели особую аксиому сводимости[en] (иначе, аксиому редукции), позволяющую понижать тип функций одного или двух переменных и тем самым ставить объекты на сопоставимый уровень[44].

Определение чисел (конечных и трансфинитных) и доказательство их свойств авторы выполняют на теоретико-множественной основе: число есть класс множеств (точнее, класс классов) одинаковой мощности. После чего уже не представляет труда вывод теорем арифметики, элементарной геометрии, анализа и других разделов математики. Достоинством такого подхода, по мнению авторов, является заведомая непротиворечивость результатов — ведь в логике противоречий быть не может[44].

Логицизм подвергся резкой критике за искусственный, интуитивно сомнительный характер своей аксиоматики. С возражениями выступили Герман Вейль, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие крупные математики. По мнению критиков, аксиома сводимости, аксиома бесконечности и аксиома выбора вообще не относятся к логике, причём аксиома сводимости не является очевидной и придумана исключительно для технического удобства. Рассел в 1919 году признал наличие аксиомы сводимости дефектом своей системы, но так и не смог от неё избавиться[45].

Гильберт в своём докладе «Основания логики и арифметики» на Третьем Международном конгрессе математиков (Гейдельберг, 1904) заметил, что логика в ходе своего развития впитала в себя неявное, но неустранимое понятие целого числа, поэтому обоснование числа с помощью логики есть порочный круг[46][47]:

При внимательном рассмотрении мы осознаём, что в обычном изложении законов логики уже используются некоторые фундаментальные понятия арифметики, например понятие совокупности, отчасти также понятие числа. Таким образом, мы попадаем в порочный круг, и поэтому, чтобы избежать парадоксов, требуется параллельное развитие законов логики и арифметики.

В 1920-е годы Фреге предложил для преодоления трудностей новый проект обоснования математики, в котором, кроме логики, присутствуют аксиомы геометрии. Он заявил: «Арифметика и геометрия выросли на одной и той же почве, а именно — геометрической, так что вся математика есть, собственно говоря, геометрия». Существенного развития эта идея не получила[48].

Среди более поздних сторонников логицизма можно назвать Уилларда Куайна и Алонзо Чёрча. В 1983 году британский логик Криспин Райт предложил новый вариант логистических оснований математики с упрощённой аксиоматикой и свободный от парадоксов. Версия Райта основана на исправлении ранней ошибочной аксиоматики Фреге. С помощью логики второго порядка и принципа Юма[en] (непротиворечивость которого была вскоре доказана) Райт вывел всю арифметику из логической аксиоматики. Этот подход получил название нео-логицизма. Критики выражают сомнение, что принцип Юма относится к логике[49][50].

Интуиционизм

Идейным антиподом логицизма был интуиционизм, сторонники которого ставили интуицию как источник истины выше логики. Ещё Декарт писал, что дедукция требуется только для вывода несамоочевидных истин, а первичные принципы (аксиомы) всегда имеют интуитивный характер[51]. Сходные идеи высказывал Иммануил Кант. Среди предшественников интуиционизма — Леопольд Кронекер и Анри Пуанкаре, а развёрнутое изложение этой философии математики дал в 1910-е годы Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр. Идеи Брауэра активно защищали Герман Вейль и Аренд Гейтинг[52].

По мнению Брауэра и других интуиционистов, математика есть полностью создание человеческой мысли и не зависит от внешнего мира. Практика человеческой деятельности полезна для развития новых математических идей, но в принципе не является необходимой для их возникновения. Герман Вейль даже провозгласил обратную связь: «Наш мир — это не хаос, но космос, гармонически упорядоченный нерушимыми законами математики»[53].

Базовыми истинами интуиционистской математики являются интуитивно очевидные человеческие представления, главные из которых — понятия натурального числа и математической индукции. Математическое мышление во всех своих проявлениях также глубоко интуитивно, и логика для него не более чем проверочный инструмент; логика основана на математике, а не математика на логике (впрочем, некоторые логические принципы входят как составная часть в математическую интуицию). Аксиоматизация и доказательства непротиворечивости — напрасный труд, интуиция не содержит противоречий. Геометрию Брауэр отнёс к физике твёрдых тел и устранил её из оснований математики; неевклидовы геометрии, по мнению Брауэра, доказывают зыбкость и неоднозначность пространственной интуиции[54][55].

Брауэр потребовал устранить из логики и математики все интуитивно сомнительные аспекты, произвёл соответствующую переоценку оснований и существенно ограничил математику и логику в нескольких направлениях. Он заявил, что человеческая интуиция всегда имеет дело с конечными множествами, поэтому актуально бесконечных множеств не существует, и они должны быть исключены из математики. Следует запретить «теоремы существования», если в них не содержится конструктивный алгоритм построения, запретить применение «закона исключённого третьего» (в доказательствах «от противного») и т. п. Значительная часть математических достижений прошлых веков при такой ревизии оказывается неверной или не доказанной; были сделаны попытки перестроить хотя бы элементарную математику на интуиционистских принципах, но доказательства оказались «невыносимо громоздкими». Столь чувствительные ограничения не устраивали большинство математиков. Вскоре интуиционисты раскололись на несколько школ, предъявлявших различные по радикальности требования к ревизии математики[56].

Критики указывали на тот факт, что многие принятые интуиционистами теоремы математики противоречат привычной интуиции (например, кривая Пеано). Кроме того, интуиция у разных людей разная, а человеческий разум способен заблуждаться — отсюда следует, что нет интуитивной истины, общей для всех людей[57].

Гильберт иронически оценил перестроенную интуиционистами математику как «жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты»; по его мнению, интуиционизм пытается изуродовать и разрушить математику. Бурбаки расценили интуиционистскую философию как исторический курьёз. В СССР популяризировалась близкая по духу школа «конструктивной математики», возглавляемая А. А. Марковым[58][59].

Гильбертовский формализм
Гильберт и его девиз: «Мы должны знать. Мы узнаем».

Наиболее активные работы по обоснованию математики вела в первой половине XX века школа Гильберта, идеи которой получили название «формализм». Воодушевлённый успехом своих «Оснований геометрии», Гильберт объявил цель построить всю математику (а в перспективе — и физику) на единой логической основе. Гильберт считал, что для дисциплин, лежащих в фундаменте математики, таких, как теория множеств и арифметика, можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями можно будет вывести любую теорему данной теории (а в перспективе — все вообще установленные в математике результаты). Более того, Гильберт верил, что для этих дисциплин можно будет доказать их непротиворечивость и полноту (первое позволило бы избавиться от обнаруженных в математике противоречий и гарантировать, что в будущем никаких новых противоречий уже не появится).

Эта программа довольно быстро привела к определённым положительным результатам: Гильберт и его ученики определили систему формальной записи математических утверждений и правила вывода на этом языке одних утверждений из других (таких систем было разработано несколько, одной из самых наглядных считается исчисление секвенций Г. Генцена), с таким расчётом, чтобы на этот язык можно было перевести все известные математические результаты; это давало возможность выводить их потом из подходящих аксиом теории, лежащей в основаниях математики (такой, как теория множеств). Одновременно таким формальным уточнением математических понятий и приемов удалось избавиться от всех накопленных к тому времени противоречий в математике.[60][61]

Однако появившиеся в 1931 году теоремы Гёделя о неполноте неожиданно показали, что, понимаемая буквально, программа Гильберта неосуществима: во-первых, обнаружилось, что полнота любой достаточно широкой формальной теории (точнее, любой теории, включающей арифметику натуральных чисел) несовместима с ее непротиворечивостью, а, во-вторых, доказать непротиворечивость какой-либо теории, содержащей арифметику, невозможно, и можно говорить только об относительной непротиворечивости таких теорий.[62][63]

Как иллюстрация, Генцен в 1936 году доказал непротиворечивость арифметики Пеано в рамках построенной им теории, допускающей некий усеченный вариант трансфинитной индукции[64] — однако этот результат справедлив только в предположении, что теория Генцена сама непротиворечива (что остается недоказанным и более того, не может быть доказано по теореме Гёделя). Другая иллюстрация: после смерти Гильберта для аксиоматики Пеано были найдены конкретные примеры утверждений, недоказуемых в теории Пеано, но доказуемых в стандартных теориях множеств, содержащих арифметику Пеано — теорема Гудстейна[65], теорема Пэриса-Харрингтона[66] и другие, — и эти наблюдения доказывают неполноту системы аксиом Пеано независимо от теорем Гёделя.

Нельзя сказать, что сам подход Гильберта встретил однозначную поддержку среди математиков. Тезис Гильберта о том, что к любому непротиворечивому математическому объекту следует относиться как к существующему, был неприемлем для интуиционистов. Многие математики также считали, что замена истинности на выводимость, формально-синтаксическая «игра с формулами» лишают математические истины смысла, делают математику бессодержательной и не могут отразить связи математики с реальным миром[67].

Тем не менее, именно исследования Гильберта и его школы оставили наиболее глубокий след в области оснований математики и по существу сформировали современное лицо этой науки. После результатов Гёделя сторонникам формализма пришлось внести определённые коррективы в поставленные Гильбертом цели (а именно, пришлось отказаться от надежд доказать непротиворечивость и полноту теории множеств, как их понимал Гильберт), однако созданное Гильбертом и его учениками исчисление предикатов в математической логике послужило фундаментом для постройки аксиоматических теорий множеств — ZF, NBG, MK[en] — на которых, в свою очередь, строится вся нынешняя математика[68][69].

Теория множеств как основание математики
Аксиомы ZFC.

Логический анализ парадоксов теории множеств показал, что необходимо ограничить понятие математического объекта, исключив те, которые могут порождать противоречия. Понятие множества было решено определить в строгой системе аксиом; объекты, не порождаемые этой системой, исключаются из числа множеств[70].

Первую аксиоматизацию теории множеств в 1908 году опубликовал Цермело; в 1922 году она была усовершенствована Френкелем и теперь известна как теория Цермело — Френкеля (ZF, с аксиомой выбора — ZFC). Расширенный вариант аксиоматики теории множеств был разработан фон Нейманом в 1925 году и модифицирован позднее Бернайсом и Гёделем. Она известна как система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя и обозначается NGB. В этой версии наряду с множеством определяется понятие «собственного класса» (например, допусти́м объект «класс всех множеств»). Все множества — классы, но не все классы — множества: собственный класс содержит элементы, но не входит как элемент в множества или классы. Существуют и другие варианты аксиоматики теории множеств. Все они достаточны для вывода теорем арифметики, анализа, геометрии и т. д. Оппоненты утверждают, что некоторые аксиомы интуитивно не обоснованы и искусственны[71][70][72].

До сих пор в аксиоматической теории множеств не обнаружено противоречий, её версии считаются надёжными и широко используются в исследованиях по математической логике, топологии, функциональному анализу и в других областях математики. На теорию множеств опирался коллектив Бурбаки, опубликовавший многотомный курс современной математики. С другой стороны, непротиворечивость аксиоматической теории множеств не доказана, и к тому же она неполна — например, гипотеза континуума, как оказалось, в ней недоказуема. В 1936 году Алонзо Чёрч показал, что, кроме недоказуемых, существуют также алгоритмически неразрешимые проблемы[73].

Уиллард Куайн в 1937 году опубликовал оригинальную аксиоматику теории множеств, которую назвал «Новые основания[en]» (NF). Она представляет собой значительно упрощённую теорию типов Рассела; в ней множество всех множеств допустимо, но принадлежность множества самому себе по-прежнему запрещена[74][75].

Дальнейшее развитие

Сильной стороной теории множеств в качестве оснований математики является её абстрактность — понятие множества пронизывает все разделы математики, объединяя их единой идеологией и терминологией. Вместе с тем абстрактность теории множеств приводит также и к ряду трудностей в силу отрыва от традиционного и близкого к опыту материала, из-за чего становится невозможным выбрать общеприемлемые аксиомы[76][нет в источнике]. Многие аксиомы (или даже целые аксиоматики) имеют существенно иные альтернативы, у которых равные права на признание, потому что интуитивное предпочтение одного из вариантов невозможно объективно обосновать — вопрос, какая альтернатива «правильная», лишён смысла[77][нет в источнике]. Например, для математического анализа, кроме традиционного обоснования, существует «нестандартное», в котором существуют бесконечно малые и бесконечно большие числа (не переменные, а именно числа). Таким образом, математик вправе выбирать между двумя существенно разными типами и обоснованиями анализа — классическим, в котором выполняется аксиома Архимеда, и нестандартным неархимедовым. Выше уже был отмечен произвол в принятии, частичном принятии или непринятии аксиомы выбора или континуум-гипотезы[78].

Практически это означает, что существует не одна математика, а целое бесконечное их семейство, члены которого несовместимы друг с другом[источник не указан 87 дней (обс.)] — например, та же аксиома выбора и альтернативная ей аксиома детерминированности. Поскольку разные варианты математики[источник не указан 87 дней (обс.)] нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от формальных оснований математической теории[79][80][нет в источнике].

Некоторые математики предлагали новые, расширенные типы математической логики (линейная логика[en]), однако широкой поддержки в качестве оснований математики они не получили[3].

С 1960-х годов, начиная с работ Уильяма Ловера[81], появилось новое перспективное[источник не указан 87 дней] направление, связывающее основания математики (и, возможно, физики[82]) с так называемой теорией категорий. Объекты в теории категорий можно нестрого представлять как множества, снабжённые структурой, свойства которых не задаются дополнительно к базовому множеству, а включены изначально в определение объекта, так что изоморфные объекты не различаются по своим свойствам[нет в источнике]. Теорию категорий можно строить, опираясь на понятие множества, однако это не обязательно: теорию категорий можно сформулировать, не используя теорию множеств, хотя ни один из многих способов сделать это не является общепринятым[источник не указан 87 дней][83][84]. Многие математики предлагают использовать вместо аксиоматики теории множеств в качестве оснований математики язык теории категорий (в частности, теорию топосов), что имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным подходом: общность, конструктивный характер, акцент на алгебраическое (а не теоретико-множественное) обоснование[источник не указан 87 дней]. В то же время продолжаются споры о том, удовлетворяют ли такие основания математики потребностям всех её ветвей и являются ли они вообще основаниями в том же философском смысле, что и теоретико-множественные основания[83][85][86].

Современное состояние

В связи с развитием компьютеров около 1970 года в разных местах независимо стали появляться идеи о том, что математические доказательства могут автоматически проверяться при помощи компьютеров[87]. Стало разрабатываться большое количество систем проверки доказательств[en]. Это возродило интерес к вопросу об основаниях математики: если раньше логиков интересовал вопрос об избавлении от парадоксов, то теперь основным вопросом стала разработка удобного языка и логической системы, которые подходили бы для написания теорем и доказательств и их дальнейшей проверки на компьютере. Практическая потребность в этом возникла в связи с необходимостью формальной верификации корректности компьютерных алгоритмов и языков программирования[88].

Кроме того, появились две новые проблемы обоснования математических результатов, которые, по мнению Брайана Дэйвиса, заслуживают названия очередного кризиса: некоторые доказательства теорем насчитывают сотни страниц сложного текста и чрезвычайно трудно проверяемы, а часть результатов (например, решение проблемы четырёх красок или гипотезы Кеплера) получена компьютерным расчётом, и их достоверность зависит от правильности расчётной программы. Дэйвис предсказал: «К 2075 году многие области чистой математики будут построены на использовании теорем, доказательства которых не сможет полностью понять ни один из живущих на Земле математиков — ни в одиночку, ни коллективными усилиями», и главным критерием корректности новых результатов станет консенсус математического сообщества[89].

Наиболее эффективной основой для большинства компьютерных систем проверки доказательства стали варианты λ-исчисления с зависимыми типами, эксплуатирующие соответствие Карри — Ховарда, согласно которому конструктивное математическое доказательство состоит в установлении обитаемости некоторого типа. Первой из таких систем стал созданный в 1967 году Николасом де Брёйном язык Automath[en], а широкие выразительные возможности подобного рода систем обеспечены благодаря построению Пером Мартин-Лёфом интуиционистской теории типов[en][88].

Значительный импульс эти идеи получили в программе создания унивалентных оснований математики, запущенной в конце первого десятилетия XXI века по инициативе В. А. Воеводского. В итоге был получен формальный математический язык, в котором любое правильно построенное утверждение является инвариантным относительно изоморфизма — цель, к которой стремился еще Михай Маккаи[en][88]. В качестве основы программы избрана гомотопическая теория типов[90] — вариант интуиционистской теории типов, снабжённый понятиями из теории категорий, алгебраической топологии, гомологической алгебры. Если в классическом подходе к основаниям, идущем от Гильберта и Тарского, логика эпистемологически первична — вначале определяется логическая система, а потом её средствами осуществляется формализация тех или иных разделов математики, то в случае унивалентных оснований логика и математика находятся на одном уровне: одни и те же конструкции могут иметь как логическую, так и, например, геометрическую интерпретацию[91]. Воеводскому удалось решить ряд внутренних противоречий таких систем и применить их к абстрактным разделам математики.

Критика

Некоторые учёные отрицают как возможность, так и необходимость формального обоснования математики. Академик Ю. И. Манин считает, что обоснование представляет собой не более чем организационное закрепление текущего уровня математических знаний и поэтому всегда обращено в прошлое, а не в будущее[92]. Другой академик, С. П. Новиков, считает, что «бесполезная всеусложняющая алгебраическая формализация языка математики, экранирующая суть дела и связи между областями — это слишком широко распространившаяся болезнь»; Новиков считает неоправданную формализацию проявлением кризиса, из-за которого математика угрожает превратиться «в организм, потерявший единый разум, где органы дёргаются без связи друг с другом»[93].

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое обоснование математики[94]:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым… «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.

Примечания

  1. ↑ Яровой Г., Радаев Ю., 2005—2006, Том 1, стр. 10.
  2. ↑ Эдельман С. Л. Математическая логика. Учеб. пособие для ин-тов. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 127. — 176 с.
  3. 1 2 3 4 5 6 Britannica.
  4. ↑ Математика // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 563.
  5. ↑ Перминов В. Я., 2001, с. 11.
  6. ↑ Сухотин А. К. Философия математики.
  7. ↑ Яшин Б. Л., 2012, с. 49—50.
  8. ↑ Янов Ю. И.
  9. ↑ Яшин Б. Л., 2012, с. 52—53.
  10. ↑ Geoffrey Hellman. Foundational Frameworks // Foundational Theories of Classical and Constructive Mathematics / Ed.: Giovanni Sommaruga. — Springer Science & Business Media, 2011. — ISBN 978-94-007-0431-2.
  11. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 21.
  12. ↑ История математики, том I, 1970, с. 178.
  13. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 32.
  14. ↑ Клайн М., 1984, с. 20—25.
  15. ↑ Яновская С. А. Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «Апорий Зенона»? // Проблемы логики. — М., 1963. — С. 116—136.
  16. ↑ Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  17. 1 2 Плиско В. Е., Хаханян В. Х. Интуиционистская логика. — Стр. 10. Проверено 24 ноября 2017.
  18. 1 2 История математики, том I, 1970, с. 78—80.
  19. ↑ Рашевский П. К. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса // Гильберт Д. Основания геометрии. — Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 13—15.
  20. ↑ Выгодский М. Я. «Начала» Евклида // Историко-математические исследования. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — Вып. 1. — С. 257—264.
  21. ↑ Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 309—323.
  22. 1 2 Клайн М., 1984, с. 45—46.
  23. ↑ Клайн М., 1984, с. 55—59, 63—71.
  24. ↑ Ранее Архимед, Кавальери, Валлис и другие математики использовали метод бесконечно малых величин как эвристический (см. Метод неделимых), оговаривая, что результат можно доказать «законным» методом исчерпывания. Ньютон и Лейбниц такой оговорки не делали, они рассматривали бесконечно малые как легальный объект.
  25. ↑ Клайн М., 1984, с. 152—156, 172—173.
  26. ↑ Клайн М., 1984, с. 164—165, 174—176.
  27. ↑ Клайн М., 1984, с. 187, 197.
  28. ↑ Клайн М., 1984, с. 92—94.
  29. ↑ Клайн М., 1984, с. 107—109.
  30. ↑ Kasner, Edward and Newman, James Roy. Mathematics and the Imagination. — Dover Pubns, 2001. — P. 358. — ISBN 0-486-41703-4.
  31. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 477—482.
  32. ↑ Клайн М., 1984, с. 204—206.
  33. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 485—486.
  34. ↑ Клайн М., 1984, с. 207.
  35. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 321.
  36. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 487—495.
  37. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 506—510.
  38. ↑ Клайн М., 1984, с. 236—237.
  39. ↑ Philosophy of Mathematics, 2.4.
  40. ↑ Клайн М., 1984, с. 240—242.
  41. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 504—505.
  42. ↑ Клайн М., 1984, с. 248—250, 313.
  43. ↑ Клайн М., 1984, с. 252—255.
  44. 1 2 Клайн М., 1984, с. 257—260.
  45. ↑ Клайн М., 1984, с. 260—266, 285.
  46. ↑ Английский перевод: Hilbert D. On the foundations of logic and arithmetic. (англ.). Проверено 3 октября 2018. Немецкий оригинал: Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik
  47. ↑ Клайн М., 1984, с. 285.
  48. ↑ Frege G. Posthumous writings. — Chicago: Chicago University Press, 1974. — P. 224.
  49. ↑ Philosophy of Mathematics, 2.1.
  50. ↑ Hale, B. & Wright, C. The Reason’s Proper Study: Essays Towards a Neo-Fregean Philosophy of Mathematics. — Oxford: Oxford University Press., 2001. — ISBN 9780198236399.
  51. ↑ Декарт Р. Правила для руководства ума. — М.—Л.: Соцэкгиз, 1936. — С. 57—60.
  52. ↑ Клайн М., 1984, с. 267—271.
  53. ↑ Метафизика и математика, 2011, с. 210.
  54. ↑ Клайн М., 1984, с. 271—274.
  55. ↑ Метафизика и математика, 2011, с. 152, 442.
  56. ↑ Клайн М., 1984, с. 274—279.
  57. ↑ Клайн М., 1984, с. 280—281.
  58. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 524.
  59. ↑ Клайн М., 1984, с. 278—279, 284, 418.
  60. ↑ Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин, Математическая логика, М.:Наука, 1987, c.92-93: "В рамках ZFC никаких противоречий до сих пор не обнаружено. С другой стороны, было доказано, что если ZFC непротиворечива, то этот факт нельзя установить средствами этой теории."
  61. ↑ H.-D.Ebbinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 1984, p.112: "Nevertheless, the fact that ZFC has been investigated and used in mathematics for decades and no inconsistency has been discovered, attests to the consistency of ZFC."
  62. ↑ Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, с.410, статья "Непротиворечивость": "Любое математическое доказательство непротиворечивости является относительным: оно лишь сводит вопрос непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой."
  63. ↑ Математическая энциклопедия, М.: Советская энциклопедия, 1982, с.995, статья "Непротиворечивость": "Любое доказательство непротиворечивости использует средства той или иной математической теории, а потому лишь сводит вопрос о непротиворечивости к вопросу о непротиворечивости другой теории. При этом говорят также, что первая теория непротиворечива относительно второй теории. Большое значение имеет вторая теорема Гёделя, которая утверждает, что непротиворечивость формальной теории, содержащей арифметику, невозможно доказать с помощью средств самой рассматриваемой теории (при условии, что эта теория действительно непротиворечива)."
  64. ↑ Формальная арифметика. Большая советская энциклопедия. Проверено 20 января 2013.
  65. ↑ Пенроуз Р. Большое, малое и человеческий разум. — М.: Мир, 2004. — С. 180—184.
  66. ↑ Paris J.; Harrington L. (1977). A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic. In Barwise, J. Handbook of Mathematical Logic. Amsterdam, Netherlands: North-Holland.
  67. ↑ Клайн М., 1984, с. 291—293.
  68. ↑ Исключение составляют некоторые разделы математической логики
  69. ↑ Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, с.683, статья "Гильберт": "Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основаниями математики в большой мере идет по путям, намеченным Гильбертом и пользуется созданными им концепциями."
  70. 1 2 Панов В. Ф., 2006, с. 518—519.
  71. ↑ Бурбаки, 1963, с. 46—47.
  72. ↑ Клайн М., 1984, с. 295—297.
  73. ↑ Клайн М., 1984, с. 309—311.
  74. ↑ Forster, Thomas. Quine's New Foundations (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. Проверено 5 февраля 2018.
  75. ↑ Holmes, M. Randall. Elementary set theory with a universal set. — Louvain-la-Neuve: Université Catholique de Louvain, Département de Philosophie, 1998. — ISBN 2-87209-488-1.
  76. ↑ Мостовский А., 1954, с. 3.
  77. ↑ Мостовский А., 1954, с. 17—18.
  78. ↑ Клайн М., 1984, с. 313—319.
  79. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 520—523.
  80. ↑ Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. — М.: Наука, 1984. — С. 3, 4, 29. — 64 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
  81. ↑ F. William Lawvere. The Category of Categories as a Foundation for Mathematics (англ.) // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. — Springer, Berlin, Heidelberg, 1966. — P. 1–20. — ISBN 9783642999048, 9783642999024. — DOI:10.1007/978-3-642-99902-4_1.
  82. ↑ Родин А. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики. Проверено 4 декабря 2017.
  83. 1 2 Jean-Pierre Marquis. Category Theory. Stanford Encyclopedia of Philosophy (2014). Проверено 2 апреля 2018.
  84. ↑ Colin McLarty. 12. Mathematical Foundations // Elementary Categories, Elementary Toposes. — Clarendon Press, 1992. — ISBN 0-19-851473-5.
  85. ↑ Lambek, Joachim. The quest for rigour. Category theory. Проверено 12 декабря 2017.
  86. ↑ Яшин Б. Л., 2012, с. 69.
  87. ↑ Proof assistants: History, ideas and future (англ.) // Sadhana. — 2009-02-01. — Vol. 34, iss. 1. — P. 3–25. — DOI:10.1007/s12046-009-0001-5.
  88. 1 2 3 Daniel R. Grayson. An introduction to univalent foundations for mathematicians // arXiv:1711.01477 [math]. — 2017-11-04.
  89. ↑ Davies B . Whither mathematics? // Notices of the American Mathematical Society. — 2001. — Vol. 52, № 11. — P. 1350—1356.
  90. ↑ Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. — Princeton: Institute for Advanced Study, 2013. — 603 p.
  91. ↑ Андрей Родин. Логический и геометрический атомизм от Лейбница до Воеводского // Вопросы философии. — 2016. — № 6. — С. 134—142.
  92. ↑ Манин Ю. И. Математика как метафора. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2014. — С. 103. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-2074-0.
  93. ↑ Михайлова Н. В. Проблема обоснования современной математики в контексте новых философско-методологических кризисов // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г.. — М.: Центр стратегической конъюнктуры, 2013. — С. 187—189. — 270 с. — ISBN 978-5-906233-39-4.
  94. ↑ Клайн М., 1984, с. 16.

Классические труды

  • Начала Евклида / Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. — М.—Л.: ГТТИ, 1949—1951. — (Классики естествознания).
  • Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т / Под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева. — Самара: Самарский университет, 2005—2006. — ISBN 5-86465-359-4.
  • Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука.
    • Том I. Логические исчисления и формализация арифметики. 1979, 560 c.
    • Том II. Теория доказательств. 1982, 656 с.
  • Brouwer, Luitzen Egbertus Jan. Over de grondslagen der wiskunde. Academisch proefschrift, Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907 im Internet-Archiv, dito). Диссертация Брауэра «Об основаниях математики»  (нид.).
    • Английский перевод: Brouwer L. E. J. Collected Works. Vol. 1: Philosophy and Foundations of Mathematics. — Amsterdam—Oxford, 1975. — 734 p. — ISBN 9781483257549.
  • Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1957. — 526 с.
  • Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.

Литература

Ссылки

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .



Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии