WikiSort.ru - Не сортированное

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка

Предположим, что множество всех множеств ${\displaystyle V=\{x\mid x=x\}}$ существует. В этом случае справедливо ${\displaystyle \forall x\forall t(x\in t\rightarrow x\in V)}$ , то есть всякое множество ${\displaystyle t}$ является подмножеством ${\displaystyle V}$ . Но из этого следует ${\displaystyle \forall t\;|t|\leqslant |V|}$  — мощность любого множества не превосходит мощности ${\displaystyle V}$ .

Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для ${\displaystyle V}$ , как и любого множества, существует множество всех подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {P}}(V)}$ , и по теореме Кантора ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|}$ , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, ${\displaystyle V}$ не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что ${\displaystyle \exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)}$ для любой формулы ${\displaystyle A}$ , не содержащей ${\displaystyle y}$ свободно.

Другая формулировка

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно ${\displaystyle \mu }$ . Тогда по теореме Кантора ${\displaystyle 2^{\mu }>\mu }$ .

Выводы

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом ${\displaystyle \exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)}$ отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой ${\displaystyle A}$ .

См. также

• Парадокс Бурали-Форти
• Парадокс всемогущества
• Парадокс Рассела