WikiSort.ru - Не сортированное

Ри́манова геоме́трия — это раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, то есть гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, иначе говоря — с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, причём эта метрика гладко меняется от точки к точке. Иногда, особенно часто в математической физике, под римановой геометрией подразумевают также и псевдориманову геометрию многообразий с псевдоримановой метрикой, например, геометрию пространства-времени специальной и общей теории относительности.

Основным подразделом римановой геометрии в математике является геометрия в целом — раздел, который выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия, таких как: топология, диаметр, объём — и его локальных свойств, к примеру, ограничений на кривизну.

История

Родоначальником римановой геометрии является немецкий математик Бернхард Риман, который изложил её основные понятия в 1854 году.

После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат римановой геометрии и устанавливали в ней новые геометрические теоремы. Важным вкладом в развитие римановой геометрии было создание итальянскими геометрами Риччи-Курбастро и его учеником Леви-Чивита на рубеже XX века тензорного исчисления, которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом. Решающее значение имело применение римановой геометрии в создании общей теории относительности. Это привело к бурному развитию римановой геометрии и её разнообразных обобщений. В настоящее время риманова геометрия вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться.

Основные теоремы

Теорема Гаусса-Бонне утверждает, что интеграл от гауссовой кривизны на компактном 2-мерном римановом многообразии равен 2πχ(М), где χ(M) обозначает эйлерову характеристику многообразия. Эта теорема допускает также обобщение на компактное риманово многообразие четной размерности.

См. также

• Риманово многообразие
• Метрический тензор
• Кривизна
• Тензор кривизны
• Связность Леви-Чивиты
• Риманова информационная метрика

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию, — СПб: Наука, 1994. 318 с.
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ — М.:Наука, 1967.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения — М.: Наука, 1979.
• Постников М. М. Риманова геометрия (Лекции по геометрии. семестр V) — М.: Факториал Пресс, 1998. 496 с.
• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом — М.: Мир, 1971

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.