WikiSort.ru - Не сортированное

Континуум-гипотеза
Названо в честь	континуум
Первооткрыватель или изобретатель	Георг Кантор
Дата открытия	1877
Описывающая закон или теорему формула	${\displaystyle \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}}$
Кем решена	Курт Гёдель и Пол Коэн

Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, в частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD).

История

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC^[1]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы ${\displaystyle \mathrm {ZFC+\neg CH} }$ имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов ${\displaystyle \alpha }$ может выполняться равенство ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }}$ ? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона (англ.).

Эквивалентные формулировки

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

• Прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел ${\displaystyle a,b,c,d}$ не выполняется условие ${\displaystyle a+b=c+d}$ ^[2].
• Плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид ${\displaystyle y=f(x)}$ (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или ${\displaystyle x=f(y)}$ (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)^[3].
• Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям ${\displaystyle Ox}$ , ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$ , соответственно, лишь в конечном числе точек^[4].
• Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка ${\displaystyle P}$ , что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через ${\displaystyle P}$ , лишь в конечном числе точек^[5].

Вариации и обобщения

Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ выполняется равенство ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$ или, другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество ${\displaystyle S}$ , найдётся подмножество, равномощное булеану ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ^[6].

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.

См. также

• Аксиома Мартина

Примечания

Литература

• Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — Вып. 9. — С. 248—261.
• Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.