WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика[1], символическая логика[2]) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики[3]. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики[4] — «логика по предмету, математика по методу»[5], «логика, развиваемая с помощью математических методов»[6].

История

Первое дошедшее до нас сочинение по формальной логике — «Первая Аналитика[en]» Аристотеля (384-322 гг. до нашей эры). В нём рассматриваются основы силлогистики — правила вывода одних высказываний из других.  Так из высказываний «Все люди смертны» и «Сократ — человек» можно сделать вывод, что «Сократ смертен». Однако на практике такие рассуждения встречаются крайне редко.

Вопрос о создании символической логики как универсального научного языка рассматривал Лейбниц в 1666 году в работе «Искусство комбинаторики» (De arte combinatoria). Он думал о записи высказываний на специальном языке, чтобы затем по логическим законам вычислять истинность других. В середине XIX века появились первые работы по алгебраизации аристотелевой логики, сформировавшие первооснову исчисления высказываний (Буль, де Морган, Шрёдер). В работах Фреге и Пирса (конец 1870-х — начало 1880-х) в логику введены предметные переменные, кванторы и, тем самым, основано исчисление предикатов. В конце 1880-х годов Дедекинд и Пеано применили эти инструменты в попытках аксиоматизации арифметики, при этом Пеано создал удобную систему обозначений, закрепившуюся и в современной математической логике.

Уайтхед и Рассел создают в 1910—1913 годах трактат Principia Mathematica, который оказал исключительное влияние на все последующее развитие математической логики. Ещё одной важной вехой в развитии логики стало обнаружение свойственных уровню развития логических исчислений и теории множеств конца XIX века парадоксов, в преодоление которых появилась концепция интуиционизма и интуиционистская логика (Брауэр, 1908) и, в качестве альтернативы, Гильбертом создана программа обоснования математики посредством аксиоматической формализации с использованием строго ограниченных средств, не приводящих к противоречиям.

Основные положения

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы , синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы и , то выводима и формула .

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат Курта Гёделя о том, что классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка (теорема Гёделя о полноте). С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

На практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и, соответственно, входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.

Разделы

В Математической предметной классификации математическая логика объединена в одну секцию верхнего уровня с основаниями математики, в которой выделены следующие разделы:

Примечания

  1. Гильберт, Аккерман, 1947, с. 5.
  2. Бродский, 1972, с. 3.
  3. mathematical logic: definition of mathematical logic in Oxford dictionary (American English)
  4. Н. И. Кондаков, Логический словарь-справочник, М.: «Наука», 1975, с. 259. «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков)»
  5. Согласно определению первого автора работ по математической логике на русском языке Платона Порецкого
  6. С. К. Клини, Математическая логика, М., 1973, с.12.

Литература

  • Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. — Государственное издательство иностранной литературы, 1947. — 306 с.
  • Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теории множеств. М.: Прогресс, 1965. — 368 с.
  • Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. — 508 с.
  • Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — Просвещение, 1968. — 232 с.
  • Бродский И. Н. Элементарное введение в символическую логику. — Издательство Ленинградского университета, 1972. — 63 с.
  • Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973. — 480 с.
  • Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. — 400 с.
  • Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. — 400 с.
  • Марков А. А. Элементы математической логики / Под ред. А. Г. Драгалина.. М.: изд-во МГУ, 1984. — 79 с. 5660 экз.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .




Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии