WikiSort.ru - Не сортированное

Вычисление значения выражения

Порядок выполнения операций указывается скобками. Если скобок нет, то приоритетность, в порядке убывания, следующая.

1. Возведение в степень.
2. Вычисление функции.
3. Умножение и деление.
4. Сложение и вычитание.

Примеры:

• ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}$
• ${\displaystyle \sin x^{2}=\sin(x^{2})}$
• ${\displaystyle \sin a+b=(\sin a)+b}$

При вычислении значения выражения вместо буквенных символов подставляют их числовые значения, соответствующие конкретной задаче. Множество числовых значений, при которых выражение имеет смысл, называется областью допустимых значений этого выражения^[3]. Пример: для выражения ${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}}$ область допустимых значений — все пары ${\displaystyle a,b}$ , в которых ${\displaystyle a\neq b}$ .

Свойства операций

• Коммутативность (перестановочное свойство) сложения:

${\displaystyle a+b=b+a.\ }$

• Вычитание есть действие, обратное сложению.
• Вычитание числа b равносильно сложению с числом, противоположным b:

${\displaystyle a-b=a+(-b).\ }$

• Коммутативность (перестановочное свойство) умножения:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\ }$

• Деление есть действие, обратное умножению.
• Деление на нуль невозможно.
• Деление на число b равносильно умножению на число, обратное к b:

${\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right).}$

• Возведение в степень не коммутативно. Поэтому у него имеются две обратные операции: извлечение корня и логарифмирование.
  • Пример: если ${\displaystyle 3^{x}=10}$ , то ${\displaystyle x=\log _{3}10.}$ Если ${\displaystyle x^{2}=10}$ , то ${\displaystyle x={\sqrt {10}}.}$
• Корень чётной степени из отрицательного числа не существует (среди вещественных чисел). См. комплексные числа.
• Ассоциативное (сочетательное) свойство сложения: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$
• Ассоциативное (сочетательное) свойство умножения: ${\displaystyle (ab)c=a(bc).}$
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для умножения: ${\displaystyle c(a+b)=ca+cb.}$
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для возведения в степень: ${\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}.}$
• Сложение показателей степени: ${\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}.}$
• Умножение показателей степени: ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}.}$

Свойства равенства

• Если ${\displaystyle a=b}$ и ${\displaystyle b=c}$ , то ${\displaystyle a=c}$ (транзитивность равенства).
• ${\displaystyle a=a}$ (рефлексивность).
• Если ${\displaystyle a=b}$ , то ${\displaystyle b=a}$ (симметричность).

Другие законы

• Если ${\displaystyle a=b}$ и ${\displaystyle c=d}$ , то ${\displaystyle a+c=b+d.}$ (аддитивность равенства)
  • Если ${\displaystyle a=b}$ , то ${\displaystyle a+c=b+c}$ для любого c
• Если ${\displaystyle a=b}$ и ${\displaystyle c=d}$ , то ${\displaystyle ac}$ = ${\displaystyle bd.}$ (мультипликативность равенства)
  • Если ${\displaystyle a=b}$ , то ${\displaystyle ac=bc}$ для любого c
• Если значения двух символов совпадают, то вместо одного можно подставить другой (принцип подстановки).
• Если ${\displaystyle a>b}$ и ${\displaystyle b>c}$ , то ${\displaystyle a>c}$ (транзитивность порядка).
• Если ${\displaystyle a>b}$ , то ${\displaystyle a+c>b+c}$ для любого c.
• Если ${\displaystyle a>b}$ и ${\displaystyle c>0}$ , то ${\displaystyle ac>bc.}$
• Если ${\displaystyle a>b}$ и ${\displaystyle c<0}$ , то ${\displaystyle ac<bc.}$

Некоторые алгебраические тождества

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$