WikiSort.ru - Не сортированное

Словесная

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число ${\displaystyle a}$ непосредственно следует как за числом ${\displaystyle b}$ , так и за числом ${\displaystyle c}$ , то ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ тождественны;
5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа ${\displaystyle n}$ , вытекает, что оно верно для следующего за ${\displaystyle n}$ натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая

Математическая формулировка использует функцию следования^[en] ${\displaystyle S(x)}$ , которая сопоставляет числу ${\displaystyle x}$ следующее за ним число.

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$ ;
2. ${\displaystyle x\in \mathbb {N} \Rightarrow S(x)\in \mathbb {N} }$ ;
3. ${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )}}$ ;
4. ${\displaystyle {\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c}$ ;
5. ${\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )}}$ .

Возможна и иная форма записи:

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$ ;
2. ${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \setminus \{1\}}$ ;
3. ${\displaystyle \exists S^{-1}}$ ;
4. ${\displaystyle 1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \subset M}$ .

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание ${\displaystyle P}$ верно для ${\displaystyle n=1}$ (база индукции) и для любого ${\displaystyle n}$ из верности ${\displaystyle P(n)}$ следует верность и ${\displaystyle P(S(n))}$ (индукционное предположение), то ${\displaystyle P(n)}$ верно для любых натуральных ${\displaystyle n}$ .