Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:
где параметры — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратичное отклонение и математическое ожидание :
График гауссовой функции при и — колоколообразная кривая, параметр определяет максимальную высоту графика — пик колокола, отвечает от сдвига пика от нуля (при — пик в нуле), а влияет на ширину (размах) колокола.
Существуют многомерные обобщения функциитеории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.
. Кроме применений вСвойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.
Параметр связан с полушириной колокола графика следующим образом:
Гауссова функция может быть выражена через полуширину колокола графика следующим образом:
Перегибы — две точки, в которых .
Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:
Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл по гауссовой функции — это функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа[1]:
Этот интеграл обращается в единицу только при условии:
и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием и дисперсией .
Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: . Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.
Пример двумерного варианта гауссовой функции:
здесь задаёт высоту колокола, определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:
В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:
где матрица:
Вариант гауссовой функции в -мерном евклидовом пространстве:
где — вектор-столбец из компонентов, — положительно определённая матрица размера , и — операция транспозиции над .
Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством :
Возможно определить -мерный вариант и со сдвигом:
где — вектор сдвига, а матрица — симметричная ( ) и положительно определённая.
Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень :
получившая применение для описания свойств гауссовых пучков[2]. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам и [3]:
Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса[en] — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния[en]* квантового гармонического осциллятора.
В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали[en] — линейные комбинации гауссовых функций.
Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро[en]) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука[4]; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие[en]. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .