WikiSort.ru - Не сортированное

Эту страницу предлагается переименовать в Теорема Абеля об алгебраических уравнениях. Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К переименованию/24 февраля 2019. Пожалуйста, основывайте свои аргументы на правилах именования статей. Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения. Номинатору: добавить секцию обсуждения. Переименовать в предложенное название, снять этот шаблон.

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени ${\displaystyle n}$ при ${\displaystyle n\geq 5}$ неразрешимо в радикалах.

Подробности

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух фактах.

• При степени ${\displaystyle n}$ многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена может являться группа перестановок ${\displaystyle S_{n}}$ .
• При ${\displaystyle n\geq 5}$ группа перестановок ${\displaystyle S_{n}}$ не является разрешимой.

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение ${\displaystyle n}$ -й степени при ${\displaystyle n\geq 5}$ не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют корни можно найти в радикалах, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение ${\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0}$ имеет корень ${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{5}]{16}}}$ .

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.

Явные формулы для степеней меньше пятой

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой).

История

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.

Их доказательства основывалось на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, она позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.

Разрешимые типы уравнений

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

• Однородное уравнение
• Возвратное уравнение

См. также

• Теория Галуа
• Корень Бринга
• Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
• Резольвента алгебраического уравнения
• Уравнение шестой степени

Литература

• Edgar Dehn. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois. Columbia University Press, 1930. ISBN 0-486-43900-3.
• John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. Fifth Edition. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-59291-6.
• Ian Stewart. Galois Theory. Chapman and Hall, 1973. ISBN 0-412-10800-3.
• Siegfried Bosch, Algebra. 6. Auflage. Springer, 2006. ISBN 3-540-29880-0, ISBN 978-3-540-29880-9.
• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-86-3.
• Лекция 5 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Abel's Impossibility Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Galois's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• David Terr & Eric W. Weisstein. Galois Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Solvable Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.