WikiSort.ru - Не сортированное

Лине́йно упоря́доченное мно́жество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ имеет место ${\displaystyle a\leqslant b}$ или ${\displaystyle b\leqslant a}$ .

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения

Сечением линейно упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ называется разбиение его на два подмножества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ так, что ${\displaystyle A\cup B=P}$ , ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ и для любых ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ , ${\displaystyle a\leqslant b}$ Классы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

• скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
• дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента или в нижнем классе нет наибольшего, но не одновременно;
• щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество ${\displaystyle D}$ линейно упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества ${\displaystyle P}$ содержит элементы, принадлежащие ${\displaystyle D}$ .

Свойства

• Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
• Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).^[1]
• Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
• Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ с порядком, унаследованным от ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Решётка ${\displaystyle L}$ изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом.

Классификация

Перечислим некоторые практически важные типы линейно упорядоченных множеств, содержащие дополнительные.алгебраические структуры.

• Упорядоченная группа.
• Упорядоченное кольцо.
• Упорядоченное поле.

Примечания

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 18 ноября 2012 года.