WikiSort.ru - Не сортированное

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e и ${\displaystyle e^{\pi }}$ — π
Система счисления	Оценка числа δs
Двоичная	10.0110101000001001111…
Десятичная	2.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	${\displaystyle 2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения, наиболее последовательным является следующее:

две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей то же самое, что и отношение большей величины к меньшей.

Серебряное сечение — иррациональное (но алгебраическое) число, равное ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ или приблизительно 2,4142135623. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 71/29 (в сумме дают 100).

По крайней мере в последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников (англ.) Джея Хембриджа (англ.). Математики исследовали серебряное отношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.

Обозначим далее серебряное сечение через ${\displaystyle \delta _{S}}$ (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

${\displaystyle {\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}\,.}$

Это уравнение имеет единственный положительный корень.

На рисунке справа даётся геометрическое доказательство, что корень из двух — иррационален, при этом отношения ${\displaystyle {\frac {AB}{BE}}={\frac {AC}{FC}}=\delta _{S}}$ .

Формулы

• ${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210}$ . Это следует из ${\displaystyle (\delta _{S}-1)^{2}=2\,.}$

• ${\displaystyle \delta _{S}=[2;2,2,2,\dots ]}$  — в виде цепной дроби:

${\displaystyle \delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.}$

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

• ${\displaystyle \delta _{S}=2{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+...}}}}}}}$  — в виде бесконечного вложенного радикала.

Другие определения

Встречаются и другие определения серебряного сечения.

Например, отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:

${\displaystyle [n;n,n,n,\dots ]}$ .

Литература

• Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с. — С. 90-95, 252.

Примечания

Ссылки

• Explanation of Silver Means
• Weisstein, Eric W. Silver Ratio (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Числа Пелля
• Пластическое число
• Золотое сечение
• Вера де Шпинадель (1999) The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts