WikiSort.ru - Не сортированное

В математике числом Салема является вещественное целое алгебраическое число α> 1, сопряжённые корни которого имеют абсолютную величину не более 1 и по крайней мере одно из которых имеет абсолютную величину, равную 1. Числа Салема представляют интерес для диофантовых приближений и гармонического анализа. Они названы в честь французского математика Рафаэля Салема.

Свойства

Поскольку число Салема имеет корень с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным^[en]. Отсюда следует, что 1/α также является корнем и все остальные корни имеют абсолютное значение точно равное 1. Как следствие, α должно быть обратимым элементом (единицей кольца) в кольце целых алгебраических чисел, являющегося нормой 1.

Каждое число Салема является числом Перрона (вещественное алгебраическое число, большее 1, все сопряжённые корни с меньшей абсолютной величиной).

Связь с числами Пизо—Виджаярагхавана

Наименьшее известное число Салема является самым большим вещественным корнем полинома Лемера (названного в честь американского математика Деррика Лемера)

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,}$

значение которого x = 1,177628; предполагается, что это наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера неприводимого нециклического полинома^[1].

Полином Лемера является множителем более короткого полинома 12-й степени,

${\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,}$ ,

все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению^[2]

${\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}$ .

Числа Салема могут быть выведены из чисел Пизо—Виджаярагхавана. Напомним, что наименьшее из последних является единственным вещественным корнем полинома 3-й степени

${\displaystyle x^{3}-x-1,}$

известного как «пластическое число» и приблизительно равным 1,324718. Это можно использовать для генерации семейства чисел Салема, в том числе наименьшего из них. Общий подход состоит в том, чтобы взять минимальный полином P ( x ) чисел Пизо—Виджаярагхавана и его обратный полином P * ( x ) и решить уравнение

${\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)\,}$

для целого n . Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и пренебрегая тривиальными множителями, мы получим минимальный полином для некоторых чисел Салема. Например, используя отрицательный случай вышеприведённого уравнения,

${\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)}$

при n = 8 получим

${\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0}$

где степень^[en] — полином Лемера. Используя большее значение n , получим семейство с корнем, приближающимся к пластическому числу. Это можно лучше понять, взяв корни n-й степени обеих сторон уравнения,

${\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}}$ .

Чем больше будет значение «n», тем больше «x» будет приближаться к решению x³ − x − 1 = 0. В случае с положительным значением «х» приближается к пластическому числу в противоположном направлении. Используя минимальный полином следующего наименьшего числа Пизо-Виджаярагавана,

${\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1)}$

который для n = 7 принимает вид

${\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0}$

при степени полинома, не сгенерированной в предыдущем, и имеет корень x = 1.216391… , который является пятым наименьшим известным числом Салема. Поскольку n стремится к бесконечности, это семейство, в свою очередь, стремится к большему вещественному корню из x⁴ − x³ − 1 = 0.

Примечания

Литература

• Borwein, Peter. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. — Springer-Verlag, 2002. — ISBN 0-387-95444-9. Chap. 3.
• Boyd, David (2001), "Salem number", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• M.J. Mossinghoff. Small Salem numbers (неопр.). Проверено 7 января 2016.
• Salem, R. Algebraic numbers and Fourier analysis. — Boston, MA : D. C. Heath and Company, 1963.