WikiSort.ru - Не сортированное

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e и ${\displaystyle e^{\pi }}$ — π
Система счисления	Оценка числа √5
Десятичная	2.23606797749978969…
Двоичная	10.0011110001101111…
Двенадцатеричная	2.29BB1325405891918…
Шестнадцатеричная	2.3C6EF372FE94F82C…
Шестидесятеричная	2;14 09 50 40 59 18 …
Рациональные приближения	7/3; 9/4; 20/9; 29/13; 38/17; 123/55; 161/72; 360/161; 521/233; 682/305; 2207/987; 2889/1292 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}$

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число^[2].

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков^[3].

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

${\displaystyle {\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots }$

Через бесконечный вложенный радикал: ${\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt {\sqrt {20+{\sqrt {20+{\sqrt {20+...}}}}}}}\dots }$

Вавилонский метод

Вычисление корня из ${\displaystyle 5}$ , начиная с ${\displaystyle r_{0}=2}$ , где ${\displaystyle r_{n+1}={\frac {r_{n}+{\tfrac {5}{r_{n}}}}{2}}}$ :

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots }$

Золотое сечение

Золотое сечение ${\displaystyle \Phi }$  — среднее арифметическое 1 и корня из 5^[4]. (${\displaystyle \varphi =1/\Phi }$ ) алгебраически можно выразить так:

${\displaystyle {\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi +1=2\Phi -1}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$

${\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}.}$

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\Phi ^{n}-(1-\Phi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.}$

Отношение √5 к ${\displaystyle \Phi }$ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка^[5]:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{\Phi }}=\varphi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}=1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}$

${\displaystyle {\frac {\Phi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\varphi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}=0.72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}$

${\displaystyle {1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}$

${\displaystyle {1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}$

Алгебра

Кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]}$ содержит числа вида ${\displaystyle a\,+\,b{\sqrt {-5}}}$ , где a и b целые числа и ${\displaystyle {\sqrt {-5}}=i{\sqrt {5}}}$  — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).}$

Поле ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]}$  — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.}$

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями^[6][7].

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

См. также

• Квадратный корень из 2
• Квадратный корень из 3

Примечания

Ссылки

• Proof that square root of 5 is irrational (недоступная ссылка) (англ.)
• Theodorus' Constant at MathWorld