Не следует путать с
метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.
У этого термина существуют и другие значения, см.
Метрика.
У этого термина существуют и другие значения, см.
Пространство.
Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой.
Определения
Метрическое пространство есть пара
, где
— множество, а
— числовая функция, которая определена на декартовом произведении
, принимает значения в множестве вещественных чисел, и такова, что
-
(аксиома тождества).
-
(аксиома симметрии).
-
(аксиома треугольника или неравенство треугольника).
При этом
- множество
называется подлежащим множеством метрического пространства.
- элементы множества
называются точками метрического пространства.
- функция
называется метрикой.
Замечания
- Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку
-
.
- Если неравенство треугольника представить в виде
-
для всех
и
,
- тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.
- Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от x до y то же самое, что и расстояние от y до x. Неравенство треугольника означает, что расстояние от x до z через y не меньше чем прямо от x до z.
Связанные определения
- Биекция между различными метрическими пространствами
и
, сохраняющая расстояния, называется изометрией;
- В этом случае пространства
и
называются изометричными.
- Если
подмножество множества
, то, рассматривая сужение
метрики
на множество
, можно получить метрическое пространство
, которое называется подпространством пространства
.
- Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
- Метрика
на
называется внутренней, если любые две точки
и
в
можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к
.
- Пространство называется геодезическим если любые две точки
и
в
можно соединить кривой с длиной равной
.
- Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:
-
- где
есть точка в
и
— положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество
является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.
- Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
- Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
- Расстояние
от точки
до подмножества
в
определяется по формуле:
-
- Тогда
, только если
принадлежит замыканию
.
Примеры
- Дискретная метрика:
, если
, и
во всех остальных случаях.
- Вещественные числа с функцией расстояния
и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
- Расстояние городских кварталов:
, где
,
— векторы.
- Пусть
— пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства
в метрическое пространство
. Расстояние между двумя отображениями
и
из этого пространства определяется как
-
- Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве
.
- В частном случае, когда
— компактное пространство,
— числовая прямая, получается пространство
всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.
- Пусть
,
,
— пространства функций на отрезке
, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:
-
- Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)
- В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций
метрика вводится по формуле:
-
- где
— метрика равномерной сходимости на
(см. выше).
- Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния
-
.
-
- является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить
на любую суммируемую последовательность
строго положительных чисел.)
- Множество вершин любого связного графа
можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
- Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.
- Множество компактных подмножеств
любого метрического пространства
можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
-
Конструкции
- Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
-
-
-
- Эти метрики эквивалентны друг другу.
Свойства
- Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
- Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
- Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
- Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
Вариации и обобщения
- Для данного множества
, функция
называется псевдометрикой или полуметрикой на
если для любых точек
из
она удовлетворяет следующим условиям:
-
-
(симметрия);
-
(неравенство треугольника).
- То есть, в отличие от метрики, различные точки в
могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве
, где
.
- Для данного множества
, функция
называется квазиметрикой если для любых точек
из
она удовлетворяет следующим условиям:
-
-
(квазисимметрия);
-
(обобщённое неравенство треугольника).
- Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
- Для всех
,
и
в
.
- Иногда удобно рассматривать
-метрики, то есть метрики со значениями
. Для любой
-метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например
-
или
- Также, для любой точки
такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство называемое метрической компонентой
. В частности, любое пространство с
-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным
.
- Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии[1][2]. Название этого обобщения не вполне устоялось[3]. В своей книге Смит[2] назывет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
-
(положительность)
-
(положительная определённсть)
d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
-
(неравенство треугольника)
- Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество X горных сёл, время прогулки между элементами X образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки A в точку B состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из B в A.
- В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
-
- из
следует x=y (но не наоборот.)
-
-
.
- Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству d(x, x)=0 для точек x на границе, но в противном случае d(x, x) примерно равно расстоянию от x до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля [4].
- Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
-
-
- Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики[5] или псевдометрики[6]. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика»[7][8].
- Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного r определяется r-шар с центом в точке p как
-
. Множество называется открытым, если для любой точки p в множестве существует r-шар с центром в p, который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством[en].В общем случае сами r-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами A и B определяется как
-
.
- Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к оператору предзамыкания[en] cl:
-
.
- Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество {0,1} с преметрикой, задаваемой функцией d, такой что d(0,1)=1 и d(1,0)=0. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.
- Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства»[9][10]. С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Пространства подходов[en] являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.
История
Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[11] в связи с рассмотрением функциональных пространств.
Примечания
- ↑ Steen, Seebach, 1995.
- 1 2 Smyth, 1987, с. 236–253.
- ↑ Rolewicz, 1987.
- ↑ Väisälä, 2005, с. 187–231.
- ↑ Булдыгин, Козаченко, 1998.
- ↑ Хелемский, 2004.
- ↑ Архангельский, Федорчук, 1988, с. 30.
- ↑ Pereira, Aldrovandi, 1995.
- ↑ Lawvere, 2002, с. 1–37.
- ↑ Vickers, 2005, с. 328–356.
- ↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .