WikiSort.ru - Не сортированное

Преде́льная то́чка (точка накопления) множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение и типы предельных точек

Точка ${\displaystyle x}$ называется предельной точкой подмножества ${\displaystyle A}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ , если всякая проколотая окрестность точки ${\displaystyle x}$ имеет с ${\displaystyle A}$ непустое пересечение.

Точка ${\displaystyle x}$ называется строго предельной точкой подмножества ${\displaystyle A}$ , если всякая окрестность точки ${\displaystyle x}$ имеет с ${\displaystyle A}$ бесконечное число общих точек. Для T₁-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты) понятия предельная точка и строго предельная точка равносильны.

Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой конденсации подмножества ${\displaystyle A}$ , если всякая окрестность точки ${\displaystyle x}$ содержит несчетное множество точек ${\displaystyle A}$ .

Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой полного накопления подмножества ${\displaystyle A}$ , если для всякой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ мощность пересечения ${\displaystyle U\cap A}$ равна мощности множества ${\displaystyle A}$ .

Связанные понятия и свойства

• Все точки множества ${\displaystyle A}$ делятся на два вида: предельные и изолированные точки. Изолированной называется такая точка ${\displaystyle x}$ , у которой есть окрестность, не имеющая с ${\displaystyle A}$ других общих точек, кроме ${\displaystyle x}$ . Подмножество в ${\displaystyle A}$ , состоящее из одной этой точки, является открытым в ${\displaystyle A}$ (в индуцированной топологии).

• Совокупность всех предельных точек множества ${\displaystyle A}$ называется его произво́дным мно́жеством и обозначается ${\displaystyle A'}$ . Все предельные точки множества входят в его замыкание ${\displaystyle {\bar {A}}}$ . Более того, справедливо равенство: ${\displaystyle {\bar {A}}=A\cup A'}$ , из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.

• Если ${\displaystyle x}$ — предельная точка множества ${\displaystyle A}$ , то существует направление точек из ${\displaystyle A}$ , сходящееся к ${\displaystyle x}$ .

• В метрических пространствах, если ${\displaystyle x}$ — предельная точка множества ${\displaystyle A}$ , то существует последовательность точек из ${\displaystyle A}$ сходящаяся к ${\displaystyle x}$ . Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
• Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в ${\displaystyle X}$ .

• Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в ${\displaystyle X}$ . Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.

(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

• Замкнутое множество в хаусдорфовом пространстве называется совершенным, если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, множество Кантора.

Примеры

• Рассмотрим множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
  • ${\displaystyle (a,b)'=[a,b];}$
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} '=\mathbb {R} ,}$ где ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — множество рациональных чисел;
  • ${\displaystyle \mathbb {Z} '=\varnothing ,}$ где ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — множество целых чисел;
• Пусть ${\displaystyle \omega _{1}}$ — первый несчётный ординал. Рассмотрим ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ — ординал ${\displaystyle \omega _{1}+1}$ с порядковой топологией. Точка ${\displaystyle \omega _{1}}$ является предельной точкой множества ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ , однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к ${\displaystyle \omega _{1}}$ .

Предельная точка числового множества

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества ${\displaystyle -\infty }$ , если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой ${\displaystyle +\infty }$ ^[1].

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

Предельная точка числовой последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности^[1].

${\displaystyle x}$ — предельная точка последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb {N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{i}-x\right|<\varepsilon }$

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда во множество возможных предельных точек включают «${\displaystyle -\infty }$ » и «${\displaystyle +\infty }$ ». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «${\displaystyle -\infty }$ » является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «${\displaystyle +\infty }$ » является её предельной точкой^[1]. При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

Предельная точка направления

Пусть ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ — направление элементов топологического пространства ${\displaystyle X}$ . Тогда ${\displaystyle x}$ называется предельной точкой направления, если для любой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ и для любого ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {A} }$ найдется индекс ${\displaystyle \beta \in \mathrm {A} }$ такой что ${\displaystyle \beta \geqslant \alpha }$ и ${\displaystyle x_{\beta }\in U}$

См. также

• Изолированная точка

Примечания

1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.