WikiSort.ru - Не сортированное

В математике чезаровские средние (средние по Чезаро) последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — это средние арифметические частичных сумм первых ${\displaystyle n}$ членов ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ :

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{i}}$

где ${\displaystyle s_{n}}$ - частичные суммы ряда,

${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

Понятие названо в честь итальянского математика Эрнесто Чезаро (англ.).

Основной результат теории чезаровских средних (см. теорема Штольца) утверждает, что если существует предел последовательности ${\displaystyle a_{n}}$ , то также существует предел последовательности ${\displaystyle c_{n}}$ , и они равны:

${\displaystyle \exists \lim _{n\to \infty }a_{n}=A\Rightarrow \exists \lim _{n\to \infty }c_{n}=A}$ .

Тем самым, операция взятия чезаровского среднего обладает свойством регулярности — сохраняет свойство сходимости последовательности и её предел. В то же время, существует множество примеров, когда исходная последовательность не имеет предела, а её чезаровские средние сходятся. (Например, последовательность ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ .) Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

Ссылки

• Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.