WikiSort.ru - Не сортированное

Интервал

В трех измерениях расстояние ${\displaystyle \Delta {d}}$ между двумя точками может быть определено с использованием теоремы Пифагора:

${\displaystyle {\left(\Delta {d}\right)}^{2}={\left(\Delta {x}\right)}^{2}+{\left(\Delta {y}\right)}^{2}+{\left(\Delta {z}\right)}^{2}}$

Хотя два наблюдателя могут измерять положение x, y и z двух точек, используя разные системы координат, расстояние между точками будет для обоих одинаковым (при условии, что они измеряют с использованием тех же единиц). Расстояние таким образом «инвариант».

Однако в специальной теории относительности расстояние между двумя точками больше не сохраняется при измерении двумя разными наблюдателями из-за сокращения Лоренца, если один из наблюдателей движется. Ситуация ещё больше осложняется, если две точки разделены и расстоянием и временем. Например, если один наблюдатель видит, что два события происходят в одном и том же месте, но в разное время, наблюдатель, движущийся относительно первого, увидит два события, происходящие в разных местах. Таким образом, для измерения эффективного «расстояния» между двумя событиями придется использовать другой способ измерения.

В четырёхмерном пространстве-времени аналогом расстояния является «интервал». Хотя время входит в четвёртое измерение, оно трактуется иначе, чем пространственные измерения и поэтому пространство Минковского существенно отличается от четырехмерного евклидова пространства. Основная причина слияния пространства и времени в пространство-время состоит в том, что пространство и время не являются инвариантными, то есть в соответствующих условиях разные наблюдатели будут не согласны относительно промежутка времени (из-за замедления времени) или расстояния (из-за лоренцева сокращения длины) между двумя событиями. Но специальная теория относительности обеспечивает новый инвариант, называемый интервалом пространства-времени, который объединяет расстояния в пространстве и во времени. Все наблюдатели, которые измеряют время и расстояние, получат один и тот же интервал пространства-времени между любыми двумя событиями. Предположим, что наблюдатель измеряет два события, разделенные во времени на ${\displaystyle \Delta t}$ и в пространстве на ${\displaystyle \Delta x}$ . Тогда интервал пространства-времени ${\displaystyle {\left(\Delta {s}\right)}^{2}}$ между двумя событиями, разделенными расстоянием ${\displaystyle \Delta {x}}$ в пространстве и ${\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t}$ в ${\displaystyle ct}$ -координате:

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}}$ , или для трех пространственных измерений, ${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$ ^[9]

Постоянная ${\displaystyle {\textrm {c}}}$ , скорость света, преобразует единицы измерения времени (в секундах) в единицы измерения расстояния (в метры).

Примечание по обозначениям: Хотя для краткости часто встречаются интервальные выражения, выраженные без дельт, включая большинство следующих обсуждений, следует понимать, что в общем случае ${\displaystyle x}$ означает ${\displaystyle \Delta {x}}$ и т. д. Нам всегда интересны «изменения» пространственных или временных значений координат, относящихся к двум событиям, и, поскольку нет выделенного начала системы отсчета, конкретные значения координат не имеют существенного значения.

Уравнение выше похоже на теорему Пифагора, за исключением знака минус между выражениями ${\displaystyle (\Delta ct)^{2}}$ и ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ . Заметим также, что интервал пространства-времени представляет собой величину ${\displaystyle s^{2}}$ , а не ${\displaystyle s}$ . Причина в том, что в отличие от расстояний в евклидовой геометрии интервалы в пространстве-времени Минковского могут быть отрицательными. Вместо того, чтобы иметь дело с квадратными корнями из отрицательных чисел, физики обычно рассматривают ${\displaystyle s^{2}}$ как отдельный символ сам по себе, а не квадрат величины.

Из-за знака минус интервал пространства-времени между двумя отдельными событиями может быть равен нулю. Если ${\displaystyle s^{2}}$ является положительным, интервал пространства-времени является времениподобным, что означает, что два события разделяются больше временем, чем пространством. Если ${\displaystyle s^{2}}$ отрицательный, интервал пространства-времени является пространственно-подобным, что означает, что два события разделены больше пространством, чем временем. Пространственно-временные интервалы равны нулю, когда ${\displaystyle x=\pm {\textrm {c}}\,t}$ . Другими словами, интервал чего-то движущегося со скоростью света между двумя событиями на мировой линии равен нулю. Такой интервал называется светоподобным или нулевым. Фотон, попавший в наш глаз от далекой звезды, не имеет возраста, несмотря на то, что (с нашей точки зрения) провел годы в пути.

Диаграмма пространства-времени обычно рисуется только с одной пространственной и одной временной осью. На рис. 2-1 представлена пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая мировые линии (то есть пути в пространстве-времени) двух фотонов A и B, вышедших из одного и того же события и идущих в противоположных направлениях. Кроме того, C иллюстрирует мировую линию объекта с досветовой скоростью. Вертикальная координата времени имеет масштаб ${\displaystyle {\textrm {c}}}$ , так что она имеет те же единицы (метры), что и пространственная ось. Поскольку фотоны движутся со скоростью света, их мировые линии имеют наклон ± 1. Другими словами, каждый метр, который фотон перемещается влево или вправо, требует приблизительно 3,3 наносекунды времени.

Примечание по обозначениям: В литературе по теории относительности есть две формы записи:

${\displaystyle s^{2}=({\textrm {c}}t)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

и

${\displaystyle s^{2}=-({\textrm {c}}t)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Эти формы записи связаны с сигнатурой метрики (+ − − −) и (− + + +). Отличие состоит в расположении координаты времени. Обе формы широко используются в научном поле.

Система отсчета

При сравнении измерений, выполненных движущимися относительно друг друга наблюдателями в разных инерциальных системах отсчета, полезно работать с системами отсчета в стандартной конфигурации. На рис.2-2 показаны две движущиеся относительно друг друга галлиеевы системы отсчета (то есть обычные трехмерные пространственные системы отсчета). Система S принадлежит первому наблюдателю O, а система S' принадлежит второму наблюдателю O'.

• Оси x, y, z системы S ориентированы параллельно относительно соответствующих осей системы S'.

• Система S' перемещается в направлении оси x системы S с постоянной скоростью v, измеренной в системе S.

• Начала отсчета систем S и S 'совпадают, когда время t= 0 для системы S и t' = 0 для системы S'.^[4]:107

Рис. 2‑3a представляет собой повернутый в другом направлении рис. 2‑2. Рис. 2‑3b иллюстрирует диаграмму пространства-времени с точки зрения наблюдателя О. Поскольку S и S' находятся в стандартной конфигурации, их начала отсчета совпадают в момент t = 0 в системе S и t′ = 0 в системе S'. Ось ct 'проходит через события в системе S', которые имеют x′ = 0. Но точки с x′ = 0 движутся в направлении x системы S со скоростью v, так что они не совпадают с осью ct в любое отличное от нуля время. Поэтому ось ct' наклоняется относительно оси ct на угол θ, заданный формулой

${\displaystyle \tan \ \theta =v/c.}$

Ось x' также наклоняется относительно оси x. Чтобы определить угол этого наклона, напомним, что наклон мировой линии светового импульса всегда ±1. Рис. 2‑3c представляет собой диаграмму пространства-времени с точки зрения наблюдателя O'. Событие P представляет собой излучение светового импульса при x′ = 0, ct′ = −a. Импульс отражается от зеркала, расположенного на расстоянии a от источника света (событие Q), и возвращается к источнику света в x′ = 0, ct′ = a (событие R).

Те же события P, Q, R нарисованы на рис. 2‑3b в системе наблюдателя O. Пути света имеют наклоны = 1 и −1 так что △PQR образует прямоугольный треугольник. Так как OP = OQ = OR, угол между x' и x должен быть также θ.

В то время как покоящаяся система отсчета имеет пространственные и временные оси, которые пересекаются под прямым углом, движущаяся система отсчета имеет острый угол между осями. Но фактически системы отсчета эквивалентны. Асимметрия рисунка обусловлена неизбежными искажениями того, как координаты пространства-времени отображаться на прямоугольную систему координат, и это следует считать не более странным, чем то, как на земной проекция Меркатора относительные размеры площади поверхности вблизи полюсов (Гренландия и Антарктида) сильно больше относительно площади поверхности вблизи экватора.

Световой конус

На рисунке 2-4 событие O находится в начале отсчета пространственно-временной диаграммы, две диагональные линии представляют все события, которые имеют нулевой интервал пространства-времени относительно события в начале отсчета. Эти две линии образуют то, что называется световым конусом события O, поскольку добавление второго пространственного измерения (рис. 2‑5) приводит к появлению появление двух конусов, которые касаются друг друга вершинами в O. Один конус распространяется в будущее (t>0), а другой — в прошлое (t<0).

Световой (двойной) конус относительно его вершины делит пространство-время на отдельные области. Внутренняя часть светового конуса будущего (верхняя часть, future light cone) состоит из всех событий, которые отделены от вершины большим «временным» (временным расстоянием), чем необходимо, чтобы пересечь их «пространственное расстояние» на скорости света; эти события составляют времениподобное будущее события O. Аналогично, времениподобное прошлое включает в себя внутренние события светового конуса прошлого (нижняя часть, past light cone). Таким образом, времениподобные интервалы Δct больше, чем Δx, xnj делает времениподобные интервалы положительными. Область, внешняя по отношению к световому конусу, состоит из событий, которые отделены от события О большим пространством, чем можно пересечь на скорости света за заданное время. Эти события включают в себя так называемую пространственно-подобную область события О, обозначенную на рис. 2-4 как «где-то ещё» (elsewhere). События на самом световом конусе называются светоподобными (или нуль отделяемыми) от O. Из-за инвариантности интервала пространства-времени все наблюдатели будут иметь один и тот же световой конус для любого заданного события и, таким образом, согласятся с таким общим разделением пространства-времени.^[10]:220

Световой конус играет важную роль в концепции причинности. Возможно, что досветовой сигнал перемещается от положения и времени O к положению и времени D (рис.2-4). Следовательно, событие O может быть причинное влияние события D. Световой конус будущего содержит все события, на которые может оказывать причинное влияние O. Аналогично, возможно, что досветовой сигнал идет от положения и времени A к положению и времени O. Световой конус прошлого содержит все события, которые могут иметь причинное влияние на O. А также, если предположить, что сигналы не могут двигаться быстрее, чем скорость света, любое событие, например, например, B или C, в пространственноподобной области («где-то ещё»), не могут влиять на событие O, и они не могут быть затронуты влиянием события O. При этом предположении исключается любая причинно-следственная связь между событием O и любыми событиями в пространственноподобной области светового конуса.^[11]

Относительность одновременности

Все наблюдатели согласятся, что для любого заданного события любое событие в световом конусе будущего (относительного заданного события) происходит после заданного события. Аналогично, для любого заданного события событие в световом конусе прошлого (относительно заданного события) происходит до заданного события. Отношение до-после, наблюдаемое для событий с времениподобным разделением, остается неизменным независимо от системы отсчета наблюдателя, то есть независимо от движения наблюдателя. Ситуация совершенно отличается для пространственно-подобно разделенных событий. Рис.2-4 нарисован для системы отсчета наблюдателя, движущегося с v = 0. В этой системе отсчета событие C происходит после события O, и событие B происходит до события O. В другой системе отсчета порядок этих событий, не связанных приичнно, может быть обратным. В частности, следует отметить, что если два события являются одновременными в конкретной системе отсчета, они обязательно разделяются пространственноподобным интервалом и, следовательно, причинно не связаны друг с другом. То, что одновременность не является абсолютной, а зависит от системы отсчета наблюдателя, называется относительность одновременности.^[12]

На рис. 2-6 показано использование пространственно-временных диаграмм при анализе относительности одновременности. События в пространстве-времени являются инвариантными, но системы координат преобразуются, как обсуждалось выше для рис. 2-3. Три события (A, B, C) являются одновременными из системы отсчета наблюдателя, движущегося со скоростью v = 0. Из системы отсчета наблюдатель, движущийся со скоростью v = 0,3 c, события происходят в порядке C, B, A. Из системы отсчета наблюдателя, движущегося со скоростью v = -0.5 c , события происходят в порядке A, B, C. Белая линия представляет собой плоскость одновременности, которая перемещается из прошлого наблюдателя в будущее наблюдателя, выделяя события, находящиеся на ней. Серая область — это световой конус наблюдателя, который остается неизменным.

Пространственноподобный интервал пространства-времени дает такое же расстояние, которое наблюдатель мог бы измерить, если измеряемые события были бы одновременными с ним. Таким образом, пространственноподобный интервал пространства-времени обеспечивает меру собственного расстояния, то есть истинного расстояния = ${\textstyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$ Аналогично, времениподобный промежуток пространства-времени дает такой же показатель времени, который будет представлен совокупным тиканием часов, которые перемещаются вдоль данной мировой линии. Таким образом, времениподобный интервал пространства-времени обеспечивает меру собственного времени = ${\textstyle {\sqrt {s^{2}}}}$ .^{[10]:220–221}

Инвариантная гипербола

В евклидовом пространстве (имеющем только пространственные размеры) множество точек, эквидистантных (с использованием евклидовой метрики) из некоторой точки, образуют круг (в двух измерениях) или сферу (в трех измерениях). В (1+1)-мерном пространстве-времени Минковского (имеющем одно временное и одно пространственное измерение) точки с постоянным пространственно-временным интервалом от начала координат (с использованием метрики Минковского) образуют кривые, задаваемые двумя уравнениями:

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2}\;}$ где ${\displaystyle s^{2}\;}$ положительная действительная константа.

Эти уравнения описывают два семейства гипербол на пространственно-временной диаграмме x;ct, которые называются инвариантными гиперболами.

На рис. 2-7а каждая пурпурная гипербола соединяет все события, имеющие некоторое фиксированное пространственно-подобное отделение от начала координат, в то время как зеленые гиперболы связывают события с равным времениподобным разделением.

На рис. 2-7б показана ситуация в (1+2)-мерном пространстве-времени Минковского (одно временное и два пространственных измерения) с соответствующими гиперболоидами. Каждый времениподобный интервал образует однополостный гиперболоид, а каждый пространственно-подобный интервал образует двуполостный гиперболоид.

(1+2)-мерная граница между пространственно и времениподобными гиперболоидами, образуется событиями, имеющими нулевой интервал пространства-времени до начала координат, складывающимися при вырождении гиперболоидов в световой конус. В (1+1)-мерном пространстве Минковского гиперболы вырождаются в две серые линии с углами 45°, изображенные на рис. 2-7а.

Примечание по обозначениям: Пурпурные гиперболы, которые пересекают ось х, называются времениподобными (в отличие от пространственно-подобных) гипербол, потому что все «расстояния» до начала координат вдоль гипербол являются времениподобными интервалами. Из-за этого эти гиперболы представляют собой пути, которые могут иметь (постоянно ускоряющиеся) частицы в пространстве-времени: между любыми двумя событиями на одной гиперболе возможно отношение причинности, поскольку обратный наклон -представляющий необходимую скорость- для всех секущих меньше ${\displaystyle c}$ . С другой стороны, зеленые гиперболы, которые пересекают ось ct, называются пространственно-подобными, так как все интервалы вдоль этих гипербол являются пространственно-подобными интервалами: никакой причинности нет между любыми двумя точками на одной из этих гипербол, потому что все секущие представляют скорости, превышающие ${\displaystyle c}$

Замедление времени и сокращение длин

На рис. 2-8 показана инвариантная гипербола для всех событий, которые могут быть достигнуты из начала координат за собственное время 5 метров (приблизительно 1,67⋅10⁻⁸ сек). Различные мировые линии представляют собой часы, движущиеся с разной скоростью. Часы, которые являются стационарными относительно наблюдателя, имеют вертикальную мировую линию, а время, измеренное наблюдателем, совпадает с собственным временем. Для часов, движущихся со скоростью 0.3c, время, измеренное наблюдателем, составляет 5,24 метра (1,75⋅10⁻⁸ сек), а для часов, движущихся со скоростью 0,7c , время, измеренное наблюдателем, составляет 7,00 метров (2,34⋅10^-8 сек). Это иллюстрирует явление, известное как замедление времени. У часов, которые перемещаются быстрее, занимает больше времени (в системе отсчета наблюдателя), чтобы отсчитать то же самое количество собственного времени, и они перемещаются дальше по оси x, чем они могли бы без замедления времени.^{[10]:220–221} Замедления времени двумя наблюдателями в разных инерциальных системах отсчета — взаимное. Если наблюдатель O наблюдает часы наблюдателя O' как более медленные в своей системе отсчета, наблюдатель O' в свою очередь, будет также наблюдать часы наблюдателя O как замедленные.

сокращение длины, подобно замедлению времени, является проявлением относительности одновременности. Измерение длины требует измерения интервала пространства-времени между двумя событиями, которые одновременно находятся в одной системе отсчета. Но события, которые одновременно в одной системе отсчета, в общем, не являются одновременными в других системах отсчета.

На рис.2-9 показаны движения метрового стержня, движущегося со скоростью 0,5 c вдоль оси x. Края синей полосы представляют собой мировые линии двух крайних точек стержня. Инвариантная гипербола иллюстрирует события, отделенные от начала координат пространственноподобным интервалом в 1 м. Конечные точки O и B, измеренные при t' = 0, являются одновременными событиями в системе отсчета S'. Но для наблюдателя в системе отсчета S события O и B не являются одновременными. Чтобы измерить длину, наблюдатель в системе отсчета S измеряет конечные точки стержня, проецируемого на ось x по их мировым линиям. Проекция «всемирного листа» стержня на ось x дает укороченную длину OC.^[4]:125

(не показано). Рисование вертикальной линии через А так, чтобы она пересекалось с осью х' , демонстрирует, что, даже когда ОВ укорочено с точки зрения наблюдателя О, ОА также укорочено с точки зрения наблюдателя O'. Точно так же, как каждый наблюдатель наблюдает часы другого как более медленные, каждый наблюдатель наблюдает линейки другого как укороченные.

Взаимное замедление времени и парадокс близнецов

Взаимное замедление времени

Взаимное замедление времени и сокращение длины имеют тенденцию запутывать новичков как бы своей противоречивой концепцией. Непонимание состоит в том, что если наблюдатель A наблюдает часы наблюдателя B замедленными, просто потому, что B движется со скоростью v по отношению к A, тогда принцип относительности требует, чтобы наблюдатель B также наблюдал часы A как замедленные. Это важный вопрос, который «лежит в основе понимания специальной теории относительности».^[10]:198

В целом, A и B выполняют два разных измерения.

Чтобы измерить скорость тикания одних из часов B, A должен использовать двое своих собственных часов, первые для записи времени, когда часы B сначала отмечены в первом местоположении B, и вторые, чтобы записать время в другом местоположении B. Наблюдателю A требуется двое часов, потому что B движется, поэтому в измерениях задействовано всего трое часов. Двое часов A должны быть синхронизированы в системе отсчета A. Напротив, B требует двух синхронизированных часов в своей системе отсчета для записи показаний часов A в двух разных местах. Следовательно, A и B выполняют свои измерения с различными наборами из трех показаний каждый. Поскольку они не выполняют измерение с одним набором часов, то нет необходимости в том, чтобы измерения были взаимно «согласованными», когда один наблюдатель наблюдал бы часы второго замедленными, а второй наблюдатель наблюдал бы ускоренные часы первого.^{[10]:198–199}

Что касается сокращения взаимной длины, рис. 2-9 иллюстрирует, что собственные и несобственные системы отсчета взаимно повернуты на гиперболический угол (англ.)русск. (аналогично обычным углам в евклидовой геометрии).^{[note 1]} Из-за этого вращения проекция собственной метровой метки на не собственную ось x укорочена, а проекция несобственной метровой метки на собственную x'-ось также укорочена.

Рисунок 2-10 усиливает предыдущие рассуждения о взаимном замедлении времени. На этом рисунке события A и C отделены от события O равными времениподобными интервалами. Из несобственной системы отсчета события A и B измеряются как одновременные, но для несобственного наблюдателя прошло больше времени, чем для собственного. В собственной системе отсчета события C и D измеряются как одновременные, но для собственного наблюдателя прошло больше времени, чем для несобственного. Каждый наблюдатель измеряет часы другого наблюдателя как замедленные.^[4]:124

Обратите внимание на важность слова «измерять». Состояние движения наблюдателя не может влиять на наблюдаемый объект, но оно может влиять на измерения объекта.

На рис.2-10 каждая линия, проходящая параллельно оси x, представляет собой линию одновременности для несобственного наблюдателя. Все события на этой линии имеют одинаковое значение времени ct. Аналогично, каждая линия, проведенная параллельно оси x' , представляет собой линию одновременности для собственного наблюдателя. Все события на этой линии имеют одинаковое значение времени ct' .

Парадокс близнецов

Элементарные введения в специальную теорию относительности часто иллюстрируют различия между галилеевой относительностью и специальной теорией относительности, создавая ряд предполагаемых «парадоксов». Все парадоксы в действительности представляют собой просто неправильные или непонятые проблемы, вызванные нашей незнакомостью со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Выходом является решение многих задач в специальной теории относительности и ознакомление с её так называемыми контр-интуитивными предсказаниями. Геометрический подход к изучению пространства-времени считается одним из лучших методов развития современной интуиции.^[13]

Парадокс близнецов — это мысленный эксперимент, включающий идентичных близнецов, один из которых совершает путешествие в космос на скоростной ракете, возвращаясь домой, чтобы обнаружить, что близнец, который остался на Земле, постарел больше, чем он сам. Этот результат кажется странным, потому что каждый близнец наблюдает за другим близнецом как движущимся, и поэтому на первый взгляд кажется, что каждый должен обнаружить другого в более молодом возрасте. Парадокс близнецов уклоняется от обоснования взаимного замедления времени, представленного выше, избегая требования третьих часов.^[10]:207 Тем не менее, «парадокс близнецов» не является истинным парадоксом, потому что его легко понять в контексте специальной теории относительности.

Такое впечатление, что парадокс существует из-за непонимания того, о чём говорит специальная теория относительности. Специальная теория относительности объявляет не все системы отсчета эквивалентными, а только инерциальные. Система отсчета движущегося близнеца не является инерционной в моменты, когда он ускоряется. Различие же между близнецами в наблюдаемом мире заключается во включении двигателей ракеты путешествующим близнецом, для того, чтобы вернуться домой, в то время как близнец-домосед ничего не делает.^[14]

Необходим более глубокий анализ, прежде чем мы сможем понять, почему эти различия должны приводить к различию в возрасте близнецов. Рассмотрим диаграмму пространства-времени на рис. 2-11. Она представляет собой простой случай, когда близнец движется прямо по оси х и сразу поворачивает назад. С точки зрения близнеца-домоседа, нет ничего сложного в парадоксе близнецов. Собственное время, измеренное вдоль мировой линии путешествующего двойника от O до C, плюс собственное время, измеренное от C до B, меньше, чем собственное время пребывания близнеца, измеренное от O через A до B. Более сложные траектории требуют интегрирования собственного времени между соответствующими событиями вдоль кривой (то есть Криволинейный интеграл), чтобы вычислить общее количество времени, затрачиваемого путешествующим двойником.^[14]

Осложнения возникают, если парадокс двойника анализируется с точки зрения движущегося двойника.

Для остальной части этого обсуждения мы принимаем номенклатуру Вайса, обозначающую близнеца-домоседа, как Теренс, и путешествующего близнеца, как Стелла.^[14]

Ранее мы отмечали, что Стелла не находится в инерциальной системе отсчета. Учитывая этот факт, иногда утверждается, что полное разрешение двойного парадокса требует общей теории относительности. Это неверно.^[14]

Анализ с использованием только СТО был бы следующим: в системе отсчета Стеллы она сама неподвижна в течение всего путешествия. Когда она активирует двигатели ракеты для разворота, она испытывает псевдосилу, которая похожа на гравитационную силу.^[14] Рис. 2-6 и 2-11 иллюстрируют понятие линий (плоскостей) одновременности: линии, параллельные оси x наблюдателя (плоскости xy), представляют собой совокупности событий, которые одновременны в системе отсчета этого наблюдателя. На рис. 2-11 синие линии соединяют события на мировой линии Теренца, которые с точки зрения Стеллы одновременны с событиями на её мировой линии. (Теренс, в свою очередь, будет наблюдать набор горизонтальных линий одновременности.) На протяжении как удаляющейся так и приближающейся частей пути Стеллы она измеряет часы Теренса как идущие более медленно, чем её собственные. Но во время поворота (то есть между жирными синими линиями на рисунке) происходит изменение угла её линий одновременности, что соответствует быстрому пропуску событий на мировой линии Теренса, которые Стелла считает одновременными с ней. Поэтому, по окончании поездки, Стелла считает, что Теренс имеет возраст больше, чем она.^[14]

Хотя общая теория относительности не требуется для анализа парадокса двойника, применение принципа эквивалентности общей теории относительности действительно дает некоторое дополнительное представление о предмете. Ранее мы отмечали, что Стелла не неподвижна в инерциальной системе отсчета. В своей покоящейся системе отсчета Стелла неподвижна в течение всей поездки. Пока она движется равномерно, её система отсчета становится инерциальной, и часы Теренса будут замедленными. Но когда она активирует двигатели ракеты для поворота, её система отсчета является ускоренной, и она испытывает силу, которая толкает её так, как если бы она находилась в гравитационном поле. Теренс будет находится как бы на высоте в этом поле и из-за гравитационного замедления времени, его часы будут идти быстрее настолько, что в конечном результате Теренсу будет больше лет, чем Стелле, когда они снова встретятся.^[14] Как будет обсуждаться в следующем разделе Искривление времени, теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени не являются исключительными для общей теории относительности. Любая теория гравитации будет предсказывать гравитационное замедление времени, если она соблюдает принцип эквивалентности, включая теорию Ньютона.^[10]:16

Гравитация

В этом вводном разделе основное внимание было сосредоточено на пространстве-времени специальной теории относительности, поскольку она проще. Пространство времени Минковского плоское, не учитывает гравитацию, повсюду однородное и служит не более чем статическим фоном для событий, происходящих в нём. Наличие гравитации значительно усложняет описание пространства-времени. В общей теории относительности пространство-время больше не является статическим фоном, но активно взаимодействует с физическими системами, которые оно содержит. Кривизна пространства-времени в присутствии материи может распространять волны, изгибать путь света и проявляться во множество других явлений.^[10]:221 Некоторые из этих явлений описаны в последующих разделах этой статьи.

Преобразования Галилея

Основная цель состоит в том, чтобы иметь возможность сравнивать измерения, сделанные наблюдателями, которые находятся в движении относительно друг друга. Скажем, у нас есть наблюдатель O в системе отсчета S, который измерил временные и пространственные координаты события, присвоив этому событию три декартовых координаты и время, измеренное на его решетке синхронизированных часов (x, y, z, t) (см. Рисунок 1-1). Второй наблюдатель O' в другой системе отсчета S' измеряет то же самое событие в его системе координат и его решетке синхронизированных часов (x' , y' , z' , t' ). Поскольку мы имеем дело с инерциальными системами отсчета, не один наблюдатель не находится под действием ускорения. Простой набор уравнений позволяет связать координаты (x, y, z, t) с (x' , y' , z' , t' ). Учитывая, что две системы координат находятся в стандартной конфигурации, что означает, что они выровнены параллельно координатам (x, y, z) и что t = 0, когда t' = 0, преобразование координат выглядит следующим образом:^[15][16]

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

На рисунке 3-1 показано, что в теории Ньютона время является универсальным.^[17]:36-37 Рассмотрим следующий мысленный эксперимент: красная стрелка иллюстрирует поезд, который движется 0,4с относительно платформы. В поезде пассажир стреляет пулей со скоростью 0,4c в системе отсчета поезда. Синяя стрелка иллюстрирует, что человек, стоящий на железнодорожных путях, измеряет скорость пули 0,8с. Это соответствует нашим наивным ожиданиям.

В более общем плане предположим, что система отсчета S' движется со скоростью v относительно системы отсчета S. В пределах системы S' наблюдатель O' измеряет объект, движущийся со скоростью u' . Какова его скорость u по отношению к системе S? Поскольку x = ut, x' = x − vt, и t = t' , мы можем написать x' = ut − vt = (u − v)t = (u − v)t' . Это приводит к u' = x' /t' и в конечном счете

${\displaystyle u'=u-v}$ or ${\displaystyle u=u'+v,}$

которое является обычным галилеевым законом сложения скоростей.

Релятивистский закон сложения скоростей

Сложение скоростей в релятивистском пространстве-времени сильно отличается от классического. Чтобы немного уменьшить сложность уравнений, введем сокращение для отношения скорости объекта относительно скорости света,

${\displaystyle \beta =v/c}$

На рисунке 3-2а показан красный поезд, который движется вперед со скоростью, определяемой как v/c = β = s/a. В системе отсчета поезда пассажир стреляет пулей со скоростью u' /c = β' = n/m, где расстояние измеряется вдоль линии, параллельной красной оси x' , а не чёрной x. Какова составная скорость u пули, представленная синей стрелкой, относительно платформы? Обращаясь к рис. 3-2b:

1. С платформы составная скорость пули определяется как u = c(s + r)/(a + b).
2. Два желтых треугольника подобны, потому что они являются прямоугольными треугольниками, которые имеют общий угол α. В большом жёлтом треугольнике отношение s/a = v/c = β.
3. Соотношения соответствующих сторон двух желтых треугольников постоянны, так что r/a = b/s = n/m = β' . Тогда b = u' s/c и r = u' a/c.
4. Подставим выражения для b и r в выражение для u в шаге 1, чтобы получить формулу Эйнштейна для сложения скоростей:^[17]:42–48

${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$

Релятивистская формула для сложения скоростей, представленная выше, демонстрирует несколько важных свойств:

• Если u' и v очень малы по сравнению со скоростью света, то произведение vu' /c² становится исчезающе малым, и общий результат становится неотличимым от формулы Галилея (формула Ньютона) для сложения скоростей: u = u' + v. Формула Галилея является частным случаем релятивистской формулы, применимой к малым скоростям.
• Если u' задано равным c, то формула дает u = c независимо от стартового значения v. Скорость света одинакова для всех наблюдателей, независимо от их движения относительно источника излучения.^[17]:49

Ещё раз про замедление времени и сокращение длин

Ранее мы качественно обсуждали замедление времени и сокращение длины. Для этих эффектов легко получить количественные выражения. Рис.3-3 представляет собой составное изображение, содержащее отдельные системы отсчета, взятые из двух предыдущих анимаций, упрощенных и повторно обозначенных для целей настоящего раздела.

Чтобы немного уменьшить сложность уравнений, в литературе встречается множество различных сокращенных обозначений для ct :

Общепринятые ${\displaystyle \mathrm {T} =ct}$ и ${\displaystyle w=ct}$ .

Также очень часто встречается использование соглашения ${\displaystyle c=1.}$

На рис.3-3а сегменты ОА и ОК представляют собой равные интервалы времени. Замедление времени представлено отношением OB/OK. Инвариантная гипербола имеет уравнение ${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+k^{2}}}}$ где k = OK, а красная строка, представляющая мировую линию частицы в движении имеет уравнение w = x/β = xc/v. Немного алгебраической преобразований дают ${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Выражение, содержащее символ квадратного корня, очень часто встречается в теории относительности, а единица деленная на выражение называется коэффициентом Лоренца, обозначаемым греческой буквой гамма ${\displaystyle \gamma }$ :^[18]

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

Заметим, что если v больше или равно c, выражение для ${\displaystyle \gamma }$ становится физически бессмысленным, подразумевая, что c — максимально возможная скорость в природе. Далее отметим, что для любого v больше нуля коэффициент Лоренца будет больше одного, хотя форма кривой такова, что для низких скоростей коэффициент Лоренца очень близок к единице.

На рис.3-3b сегменты OA и OK представляют собой равные пространственно-временные интервалы. Сокращение длины представлено отношением OB/OK. Инвариантная гипербола умеет уравнение ${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+k^{2}}}}$ , где k = OK, и края синей полосы, представляющие мировые линии конечных точек стержня в движении, имеют наклон 1/β = c/v. Событие A имеет координаты (x, w) = (γk, γβk). Так как касательная линия через A и B имеет уравнение w = (x − OB)/β, получаем γβk = (γk − OB)/β и

${\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}$

Преобразования Лоренца

Галилеевские преобразования и их последовательный закон суммирования скоростей хорошо работают в нашем обычном низкоскоростном мире самолетов, автомобилей и шаров. Однако начиная с середины 1800-х годов чувствительная научная аппаратура начала обнаруживать аномалии, которые не соответствовали обычным прибавлениям скоростей.

В специальной теории относительности чтобы преобразовать координаты события из одной системы отсчета в другую, мы используем преобразования Лоренца.

Прямые преобразования Лоренца:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

Обратные преобразования Лоренца:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

Когда v ≪ c и x достаточно мало, v²/c² и vx/c² стремяться к нулю, а преобразования Лоренца приближаются к преобразованиям Галилея.

Как отмечалось ранее, когда мы пишем ${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$ ${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$ и т. д., мы чаще всего действительно имеем ввиду ${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$ ${\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}$ и т. д. Хотя для краткости мы пишем уравнения преобразования Лоренца без дельт, следует понимать, что х означает Δx и т. Д. Мы, как правило, всегда интересуемся промежутками пространства и времени между событиями.

Замечание об обозначениях: Названия одного набора преобразований прямыми преобразованиями Лоренца, а другой — обратными преобразованиями, может вводить в заблуждение, поскольку между системами отсчета нет существенной разницы. Различные авторы называют обратными один или другой набор преобразований. Прямые и обратные преобразования тривиально связаны друг с другом, поскольку система отсчета S может двигаться только вперед или назад относительно S' . Поэтому инвертирование уравнений просто влечет за собой переключение собственных и несобственных переменных и замену v на -v.^[19]:71–79

Пример: Теренс и Стелла находятся на космической гонке «Земля-Марс». Теренс является официальным лицом на стартовой линии, а Стелла — участником. В момент времени t = t' = 0 космический корабль Стеллы мгновенно ускоряется со скоростью 0.5 c. Расстояние от Земли до Марса составляет 300 световых секунд (около 90,0⋅10⁶ км). Теренс наблюдает, как Стелла пересекает часы финишной линии на t = 600.00 с. Но Стелла отмечает, что, когда она проходит финишную черту, время на хронометре её корабля t' = ${\displaystyle \gamma }$ (t − vx/c²) = 519.62 с, и она получает расстояние между начальными и конечными линиями в своей системе отсчета 259,81 световых секунд (около 77,9⋅10⁶ км).

Вывод преобразований Лоренца

Было много десятков выводов преобразований Лоренца после оригинальной работы Эйнштейна в 1905 году, каждая из которых фокусировалась на чём то своем. Хотя вывод Эйнштейна основывался на неизменности скорости света, существуют и другие физические принципы, которые могут служить отправными точками для вывода преобразований. В конечном счете, этими альтернативными отправными точками можно считать разные выражения лежащего в основе принципа локальности, в котором говорится, что влияние, которое одна частица оказывает на другое, не может передаваться мгновенно.^[20]

Вывод, приведенный здесь и проиллюстрированный на рис. 3-5, основан на одном из выводов представленных Байсом^[17]:64–66 и использует предыдущие результаты из релятивистских сложения скоростей, замедления времени и скоращения длин. Событие P имеет координаты (w, x) в чёрной «системе покоя» и координаты (w' и x' ) в красной системе отсчета, которая движется с параметром скорости β = v/c. Как мы определяем w' и x ' в терминах w и x? (Или наоборот)

Вначале легче получить обратное преобразование Лоренца.

1. Начнем с того, что не может быть такого понятия, как увеличение/уменьшение длины в поперечных направлениях. y' должено равняться y, а z' должено быть равно z, в противном случае, возможность быстро движущимуся 1 м шарику пройти через 1 м круглое отверстие зависело бы от наблюдателя. В первом постулате относительности утверждается, что все инерциальные системы отсчета эквивалентны, а поперечное увеличение/уменьшение нарушало бы этот закон.^[19]:27–28
2. Из рисунка, w = a + b и x = r + s
3. Из предыдущих результатов, используя подобные треугольники, мы знаем, что s/a = b/r = v/c = β.
4. Мы знаем, что из-за замедления времени, a = γw'
5. Подставляя уравнение (4) в s/a = β получаем s = γw'β.
6. Сокращение длины и подобные треугольники дают нам r = γx' и b = βr = βγx'
7. Подставляя выражения для s, a, r and b в уравнения в шаге 2, сразу получаем

   ${\displaystyle w=\gamma w'+\beta \gamma x'}$

   ${\displaystyle x=\gamma x'+\beta \gamma w'}$

Вышеприведенные уравнения являются альтернативными выражениями для t и x уравнений обратного преобразования Лоренца, как видно из подстановки ct для w, ct' для W' и v/c для β. Из обратного преобразования уравнения прямого преобразования могут быть получены путем разрешения для t' и x' .

Эффект Доплера

Эффект Доплера — изменение частоты или длины волны для движущихся относительно друг друга источника и приемника. Для простоты рассмотрим здесь два основных случая: (1) Движения источника и/или приемника находятся точно вдоль линии, их соединяющей (продольный эффект Допплера), и (2) движения находятся под прямым углом к указанной линии (поперечный эффект Допплера). Мы игнорируем случаи, в которых они перемещаются по промежуточным углам.

Продольный эффект Доплера

Классический допплеровский анализ имеет дело с волнами, распространяющимися в среде, такими как звуковые волны или рябь воды, и которые передаются между источниками и приемниками, когда они движутся в направлении или друг от друга. Анализ таких волн зависит от того, движутся ли источник, приемник или оба относительно среды. Для случая, в котором приемник является стационарным по отношению к среде, а источник удалется непосредственно от приемника со скоростью v_s для параметра скорости β_s, длина волны увеличивается, а наблюдаемая частота f задается формулой

${\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}$

С другой стороны, для случая, когда источник неподвижен, а приемник движется прямо от источника со скоростью v_r для параметра скорости β_r, длина волны не изменяется, но скорость передачи волн относительно приемника уменьшается, а наблюдаемая частота f задается выражением

${\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}$

Свет, в отличие от звуковой или водяной ряби, не распространяется через среду, и нет никакого различия между источником, удаляющимся от приемника или приемника, удаляющимся от источника. Рис.3-6 иллюстрирует релятивистскую пространственно-временную диаграмму, показывающую источник, отдаляющийся от приемника с параметром скорости β, так что разделение между источником и приемником в момент времени w равно βw. Из-за замедления времени w = γw' . Поскольку угловой коэффициент зелёного луча света равен −1,T = w+βw = γẃ(1+β). Следовательно, релятивистский эффект Допплера дается выражением^[17]:58–59

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}$

Поперечный эффект Доплера

Предположим, что источник, движущийся по прямой, находится в самой близкой точке к приемнику. Казалось бы, классический анализ предсказывает, что приемник не обнаруживает допплеровского сдвига. Из-за тонкостей в анализе это предположение не обязательно верно. Тем не менее, при соответствующем определении, поперечный допплеровский сдвиг является релятивистским эффектом, который не имеет классического аналога. Этими тонкостями являются следующие:^[19]:94–96

• Рисунок 3-7а. Если источник, движущийся по прямой линии, пересекает поле зрения приемника, каков результат измерение частоты, когда источник находится ближе всего к приемнику?
• Рисунок 3-7b. Если источник движется по прямой линии, каков результат измерение частоты, когда приемник видит источник в самом близком положении к нему?
• Рисунок 3-7с. Если приемник движется по кругу вокруг источника, какую частоту измеряет приемник?
• Рисунок 3-7d. Если источник перемещается по кругу вокруг приемника, какую частоту измеряет приемник?

В сценарии (a), когда источник ближе всего к приемнику, свет, попадающий на приемник, фактически идет из направления, в котором источник был некоторое время назад, и имеет значительную продольную компоненту, усложняя анализ из системы отсчета приемника. Проще сделать анализ из S', системы отсчета источника. Точка максимального приближения является независимой от системы отсчета и представляет собой момент, когда нет никакого изменения расстояния со временем (то есть dr/dt = 0, где r — расстояние между приемником и источником) и, следовательно, никакого продольного допплеровского сдвига. Источник наблюдает приемник как освещенный светом частоты f' и имеющий замедленные часы. Следовательно в системе отсчета S приемник освещен светом, имеющим синее смещение

${\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Сценарий (b) лучше всего анализировать из S, системы отсчета приемника. На рисунке показано, что приемник освещен светом, когда источник был ближе всего к приемнику, хотя источник уже переместился. Поскольку часы источника замедлены, и dr/dt в этот момент равно нулю, свет от источника, испущенный из этой ближайшей точки, имеет красное смещение

${\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Сценарии (c) и (d) могут быть проанализированы с помощью простых аргументов замедления времени. В (c) приемник наблюдает свет от источника как имеющий синее смещение с коэффициентом ${\displaystyle \gamma }$ , а в (d) как имеющий красное смещение. Единственная кажущаяся сложность состоит в том, что объекты имеют орбитальное движение и, соответственно, имеют ускорения. Однако с точки зрения инерциального наблюдателя при вычислении замедления времени важна только мгновенная скорость часов. (Однако, обратное неверно.)^[19]:94–96 Большинство сообщений о поперечном допплеровском сдвиге относятся к эффекту красного смещения и анализируют эффект с точки зрения сценариев (b) или (d).^{[note 2]}

Энергия и импульс

Расширение импульса до четырёх измерений

В классической механике состояние движения частицы характеризуется её массой и её скоростью. Импульс, как произведение массы и скорости частицы, является векторной величиной, обладающей тем же направлением, что и скорость: p = mv. Это консервативная величина, что означает, что если на закрытую систему не влияют внешние силы, её полный линейный импульс не может измениться.

В релятивистской механике вектор импульса расширен до четырёх измерений. К вектору импульса добавляется компонента времени, которая позволяет вектору импульса пространства-времени преобразовываться подобно вектору положения (x, t) в пространства-времени. При изучении свойств импульса в пространстве-времени (см. рис. 3-8а) мы начинаем с рассмотрения частицы в состоянии покоя. В системе отсчета покоя пространственная составляющая импульса равна нулю, то есть p = 0, но компонента времени равна mc.

Мы можем получить преобразованные компоненты этого вектора в движущейся системе отсчета, используя преобразования Лоренца, или мы можем прочитать его непосредственно из рисунка, потому что мы знаем, (mc)́ = γmc и ṕ = −βγmc, так как красные оси масштабируются на коэффициент гамма. На фиг.3-8b показана ситуация в движущейся системе отсчета. Очевидно, что пространственная и временная составляющие четырёхимпульса уходят в бесконечность при приближении скорости движущейся системы отсчета к c.^[17]:84–87

Мы будем использовать эту информацию в дальше, чтобы получить выражение для четырёхимпульса.

Импульс света

Легкие частицы или фотоны движутся со постоянной скоростью c, которая известна как скорость света. Поэтому фотоны распространяются по светоподобной мировой линии и в соответствующих единицах имеют равные пространственные и временные составляющие для каждого наблюдателя.

Следствием уравнений Максвелла является то, что свет несет энергию и импульс и что их отношение всегда постоянно: E/p = c. Или преобразовав E/c = p. Поскольку для фотонов пространственные и временные компоненты равны, значит, E/c следует отождествлять с временной составляющей вектора импульса в пространстве-времени.

Фотоны движутся со скоростью света, но имеют конечный импульс и энергию. Для этого массовый член в γmc должен быть равен нулю, что означает, что фотоны являются безмассовыми частицами. Бесконечность на ноль — это некорректная величина, но E/c четко определена.

В этом анализе, если энергия фотона равна E в системе отсчета покоя, в движущейся системе координат она равна É = (1 − β)γE. Этот результат может быть получен путем исследования рис. 3-9 или путем применения преобразований Лоренца и согласуется с анализом эффекта Доплера, данным ранее.^[17]:88

Законы сохранения

В физике законы сохранения утверждают, что определённые измеримые свойства изолированной физической системы не меняются по мере развития системы со временем. В 1915 году Эмми Нётер обнаружил, что основой каждого закона сохранения является фундаментальная симметрия природы.^[23] Тот факт, что физические процессы не волнует где они происходят в пространстве (Трансляционная симметрия), дает закон сохранение импульса, тот факт, что такие процессы не волнует когда они происходят (трансляционная симметрия времени (англ.)русск.) дает закон сохранения энергии, и так далее. В этом разделе мы рассмотрим ньютоновские взгляды на сохранение массы, импульса и энергии с релятивистской точки зрения.

Полный импульс

Чтобы понять, как необходимо изменить ньютоновский взгляд на сохранение импульса в релятивистском контексте, мы рассмотрим проблему двух сталкивающихся тел, ограниченных одним измерением.

В механике Ньютона можно выделить два крайних случая этой проблемы, которые дают математику минимальной сложности: (1) Два тела отскакивают друг от друга при полностью упругом столкновении. (2) Два тела склеиваются и продолжают двигаться как одна частица. Этот второй случай — случай полностью неупругого столкновения. Для обоих случаев (1) и (2) сохраняются импульс, масса и полная энергия. Однако кинетическая энергия не сохраняется в случаях неупругого столкновения. Определённая доля исходной кинетической энергии преобразуется в тепло.

В случае (2) две массы с импульсами p₁ = m₁v₁ и p₂ = m₂v₂ сталкиваются, чтобы создать единую частицу сохраняющейся массы m = m₁ + m₂, перемещающейся со скоростью центра масс исходной системы, v_cm = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). Полный импульс при этом сохраняется p = p₁ + p₂.

Рис. 3-10 иллюстрирует неупругое столкновение двух частиц с релятивистской точки зрения. Временные компоненты E₁/c и E₂/c суммируют до полного результирующего вектора E/c, что означает, что энергия сохраняется. Аналогично, пространственные компоненты p₁ и p₂ складываются в форму p результирующего вектора. Четырёхимпульсом, как и ожидалось, является сохраняющаяся величина. Однако инвариантная масса склеенной частицы, заданная точкой, где инвариантная гипербола полного импульса пересекает ось энергии, не равна сумме инвариантных масс отдельных частиц, которые столкнулись. Действительно, она больше суммы отдельных масс: m > m₁ + m₂.^[17]:94–97

Рассматривая события этого сценария в обратной последовательности, мы видим, что несохранение массы является обычным явлением: когда неустойчивая элементарная частица спонтанно распадается на две более легкие частицы, полная энергия сохраняется, а масса нет. Часть массы преобразуется в кинетическую энергию.^{[19]:134–138}

Выбор систем отсчета

Рис. 3-11.
Слева Лабораторная ИСО.
Справа Система центра масс.

Свобода выбора любой системы отсчета для проведения анализа позволяет выбрать ту, которая будет удобной. Для анализа задач с импульсами и энергией наиболее удобной системой отсчета обычно является «система центра масс» (также называемый системой с нулевым импульсом или СЦМ-системой). Это система, в которой пространственная составляющая полного импульса системы равна нулю. Рис.3-11 иллюстрирует распад высокоскоростной частицы на две дочерние частицы. В лабораторной системе дочерние частицы предпочтительно излучаются в направлении, ориентированном вдоль траектории исходной частицы. Однако в системе СЦМ две дочерние частицы излучаются в противоположных направлениях, хотя их массы и величина их скоростей не одинаковы.

Сохранение энергии и импульса

В ньютоновском анализе взаимодействующих частиц преобразование между системами простое, потому что все, что необходимо — это применить преобразование Галилея ко всем скоростям. Так как v́ = v − u, то импульс ṕ = p − mu. Если общий импульс взаимодействующей системы частиц будет сохранен в одной системе, то также будет наблюдаться сохранение в любой другой системе.^{[19]:241–245}

Рисунок 3-12a. Диаграмма энергии-импульса для распада заряженного пиона

Рисунок 3-12b. Графический расчет распада заряженного пиона.

Сохранение импульса в системе СЦМ образует требование, что p = 0 как до, так и после столкновения. В ньютоновском анализе сохранение массы требует чтобы m = m₁ + m₂. В упрощенных одномерных сценариях, которые мы рассматривали, необходимо только одно дополнительное ограничение, прежде чем можно определить исходящие импульсы частиц — состояние энергии. В одномерном случае полностью упругого столкновения без потери кинетической энергии скорости частиц после столкновения в СЦМ-системе будут точно равными и противоположными по направлению. В случае полностью неупругого столкновения с полной потерей кинетической энергии скорости частиц после столкновения будут равны нулю.^{[19]:241–245}

Ньютоновские импульсы, рассчитанные как p = mv, не могут корректно вести себя при преобразовании Лоренца. Линейное преобразование скоростей v́ = v − u заменяется сильно нелинейным v́ = (v − u)/(1 − vu/c²), так что вычисление, демонстрирующее сохранение импульса в одной системе отсчета будет недействительным в других системах отсчета. Перед Эйнштейном встал выбор либо отказаться от сохранения импульса, либо изменить определение импульса. Как мы видели в предыдущем разделе, он выбрал второй вариант и ввел четырехимпульс.^[17]:104

Релятивистский закон сохранения энергии и импульса заменяет три классических закона сохранения энергии, импульса и массы. Масса больше не сохраняется, потому что она включена в общую релятивистскую энергию. Это делает релятивистское сохранение энергии более простым понятием, чем в нерелятивистской механике, поскольку полная энергия сохраняется без каких-либо уточнений. Кинетическая энергия, преобразованная в теплоту или внутреннюю потенциальную энергию, проявляется как увеличение массы.^[19]:127

Пример: Из-за эквивалентности массы и энергии массы элементарных частиц обычно указаны в энергетических единицах, где 1 МэВ = 1 × 10 ⁶ электрон-вольт. Заряженный пион представляет собой частицу с массой 139,57МэВ (примерно в 273 раза больше массы электрона). Он неустойчив и распадается на мюон с массой 105,66 МэВ (примерно в 207 раз больше массы электрона) и антинейтрино, которое имеет пренебрежимо малую массу. Разница между массой пиона и массой мюона составляет 33,91 Мэв.

π−
→ μ−
+ ν
μ

На рис. 3-12а показана диаграмма энергии-импульса для этой реакции распада в системе покоя пиона. Из-за своей незначительной массы нейтрино движется почти со скоростью света. Релятивистское выражение для его энергии, как и для фотона, есть E_ν = pc,, которое также является значением пространственной составляющей его импульса. Чтобы сохранить импульс, мюон имеет то же значение пространственной составляющей импульса нейтрино, но в противоположном направлении.

В Интернете доступны алгебраические расчеты энергии распада этой реации,^[24], поэтому приведен рис. 3-12b. Энергия нейтрино равна 29,79 Мэв, а энергия мюона равна 33,91 - 29,79 = 4,12 МэВ. Большая часть энергии уносится нейтрино почти нулевой массы.

Быстрота

Рисунок 4-1a. Луч в единичной окружности x² + y² = 1 в точке (cos a, sin a), где a вдвое больше площади между лучом, окружностью и осью x.

Рисунок 4-1b. Луч в единичной гиперболе (англ.)русск. x² - y² = 1 в точке (cosh a, sinh a), где a вдвое больше площади между лучом, гиперболой и осью x.

Преобразования Лоренца связывают координаты событий в одной системе отсчета с координатами в другой системе отсчета. Для сложения двух скоростей используется релятивистский закон сложения скоростей, формулы которого нелинейны, что делает его более сложными, чем соответствующий закон Галилея.

Эта нелинейность является артефактом нашего выбора параметров.^{[7]: 47-59} Ранее мы отмечали, что в пространственно-временной диаграмме x–ct, точки постоянного интервала от начала координат образуют инвариантную гиперболу. Мы также отмечали, что системы координат двух пространственно-временных систем отсчета в стандартной конфигурации гиперболически повернуты относительно друг друга.

Естественными функциями для выражения этих соотношений являются гиперболические аналоги тригонометрических функций. На рис. 4-1а показана единичная окружность с sin (a) и cos (a), единственная разница между этой диаграммой и знакомой единичной окружности элементарной тригонометрии заключается в том, что a интерпретируется не как угол между лучом и осью x, а как двойная площадь сектора, заметаемая лучом от оси х. (Численно, угол и 2 × площади единичной окружности равны.) Рис. 4-1b показывает единичную гиперболу (англ.)русск. с sinh(a) и cosh(a), где a также интерпретируется как дважды окрашенаня область.^[25] На рис. 4-2 представлены графики функций sinh, cosh и tanh.

Для единичной окружности наклон луча определяется выражением

${\displaystyle {\text{slope}}=\tan a={\frac {\sin a}{\cos a}}.}$

В прямоугольной системе координат, вращение точки (x, y) в точку (x́, ý) под углом θ определяется формулой

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}.}$

В пространственно-временной диаграмме параметр скорости ${\displaystyle \beta }$ является аналогом наклона (углового коэффициента). Быстрота φ определяется rfr^[19]:96–99

${\displaystyle \beta \equiv \tanh \phi \equiv {\frac {v}{c}},}$

где

${\displaystyle \tanh \phi ={\frac {\sinh \phi }{\cosh \phi }}={\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{e^{\phi }+e^{-\phi }}}.}$

Быстрота, определённая выше, очень полезна в специальной теории относительности, потому что многие выражения принимают более упрощенную форму, выраженную в её терминах. Например, быстрота просто аддитивна в коллинеарной формуле сложения скоростей^[7]:47–59

${\displaystyle \beta ={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\tanh \phi _{1}+\tanh \phi _{2}}{1+\tanh \phi _{1}\tanh \phi _{2}}}=}$ ${\displaystyle \tanh(\phi _{1}+\phi _{2}),}$

или другими словами, ${\displaystyle \phi =\phi _{1}+\phi _{2}.}$

Преобразования Лоренца принимают простой вид, если выразить их в терминах быстроты. Фактор γ может быть записан как

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }}}}$ ${\displaystyle =\cosh \phi ,}$

${\displaystyle \gamma \beta ={\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\tanh \phi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }}}}$ ${\displaystyle =\sinh \phi .}$

Преобразования, описывающие относительное движение с равномерной скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются бустами.

Подставляя γ и γβ в преобразования, которые были представлены ранее и переписаны в матричной форме, буст Лоренца в x направлении можно записать в виде

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi \\-\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}},}$

и обратный буст Лоренца в x направлении может быть записан как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &\sinh \phi \\\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}.}$

Другими словами, буст Лоренца представляет гиперболическое вращение в пространстве-времени Минковского.^[19]:96–99

Преимущества использования гиперболических функций таковы, что некоторые учебники, такие как классические Тейлор и Уилер, вводят их использование на очень ранней стадии^{[7][26][note 3]}

4-векторы

4-вектора были упомянуты выше в контексте 4-вектора энергии-импульса. В целом ни один из элементарных выводов специальной теории относительности их не требует. Но однажды понятое понятие 4-вектора и более общее понятие тензора значительно упрощают математику и концептуальное понимание специальной теории относительности. Работа исключительно с такими объектами приводит к формулам, которые явно релятивистски инвариантны, что является значительным преимуществом в нетривиальных контекстах. Например, демонстрация релятивистской инвариантности уравнений Максвелла в их обычной форме не является тривиальной, а использование тензора электромагнитного поля превращает их в просто рутинный расчет. С другой стороны, общая теория относительности с самого начала опирается в основном на 4-векторы и тензоры, представляющие физически релевантные сущности. Связь этих уравнений с помощью уравнений, не зависящих от конкретных координат, требует тензоров, способных связывать такие 4-векторы даже в искривленном пространстве-времени, а не только в плоском как в специальной теории относительности. Изучение тензоров выходит за рамки этой статьи, в которой дается лишь основное обсуждение пространства-времени.

Примеры 4-векторов

• 4-вектор смещения: Также имеет название разделение пространства-времени, это (Δt, Δx, Δy, Δz), или для бесконечно малых, (dt, dx, dy, dz).

${\displaystyle dS\equiv (dt,dx,dy,dz)}$

• 4-вектор скорости: Этот вектор получается при делении 4-вектора смещения на ${\displaystyle d\ tau}$ , где ${\displaystyle d\tau }$  — это собственное время между двумя событиями, которые разделены dt, dx, dy и dz .

${\displaystyle V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=}$ ${\displaystyle \gamma \left(1,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)=}$ ${\displaystyle (\gamma ,\gamma {\vec {v}})}$

Рисунок 4-3a. Кратковременные сопутствующие системы отсчета ускоряющей частицы, наблюдаемые из неподвижной системы отсчета.

Рисунок 4-3b. Кратковременно сопутствующие системы отсчета вдоль траектории ускоряющего наблюдателя (в центре).

Вектор 4-скорости касается мировой линии частицы и имеет длину, равную одной единице времени в системе отсчета частицы.

У ускоренной частицы нет инерциальной системы отсчета, в которой она всегда находится в состоянии покоя. Однако, как указывалось ранее в более раннем обсуждении поперечного эффекта Доплера, всегда можно найти инерциальную систему отсчета, которая мгновенно сопутствует частице. Такая мгновенно сопутствующая инерциальная система отсчета (МСИСО) позволяет применять специальную теорию относительности для анализа ускоренных частиц.

Поскольку фотоны движутся по светоподобным линиям, то для них ${\displaystyle d\tau =0}$ и 4-скорость не может быть определена. Нет системы отсчета, в которой фотон находится в состоянии покоя, и вдоль пути фотона невозможно найти МСИСО.

• 4-вектор энергии-импульса: Как обсуждалось в параграфе Энергия и импульс,

${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$

Как указывалось ранее, существуют различные способы представления 4-вектора энергии-импульса. Его можно выразить как ${\displaystyle (E,{\vec {p}})}$ или ${\displaystyle (E,{\vec {p}}c).}$ Первая компонента — это полная энергия (включая массу) частицы (или системы частиц) в данной системе отсчета, а остальные компоненты — её пространственный импульс. 4-вектор энергии-импульса является сохраняющейся величиной.

• 4-вектор ускорения: Это результат взятия производной от 4-вектора скорости по ${\displaystyle \tau .}$

${\displaystyle A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(\gamma ,\gamma {\vec {v}})=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {d\gamma }{dt}},{\frac {d(\gamma {\vec {v}})}{dt}}\right)}$

• '4-вектор силы:' Это производная от 4-вектора импульса по ${\displaystyle \tau .}$

${\displaystyle F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right)=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\vec {f}}\right)}$

Как и ожидалось, конечные компоненты вышеперечисленных 4-векторов являются стандартными 3-векторами, соответствующими пространственному 3-импульсу, 3-силе и т. д.^{[19]:178–181[13]:36–59}

Ускорение

Распространенным заблуждением является то, что специальная теория относительности применима только к инерционным системам отсчета и что она не способна работать с ускоряющимися объектами или ускоренными системами отсчета. Ускоряющиеся объекты обычно можно анализировать без необходимости иметь дело с ускоренными системами отсчета в принципе. Общая теория относительности требуется только для сильных гравитационных полей.^[27]

Однако корректная работа с ускоренными системами отсчета требует некоторой осторожности. Разница между специальной и общей относительностью состоит в том, что (1) В специальной теории относительности все скорости относительны, но ускорение является абсолютным. (2) В общей теории относительности все виды движения относительны, и инерционное, и ускоренное, и вращение. Чтобы учесть эту разницу, общая теория относительности использует искривленное пространство-время.^[27]

В этом разделе мы проанализируем несколько сценариев, связанных с ускоренными системами отсчета.

Парадокс Белла

Основная статья: Парадокс Белла

Парадокс космического корабля Белла — хороший пример проблемы, когда интуитивное рассуждение, не связанное с геометрическим пониманием подхода пространства-времени, может привести к проблемам.

На рис.4-4 два одинаковых космических корабля висят в пространстве и находятся в покое относительно друг друга. Они соединены веревкой, которая имеет ограничение на растяжение до разрыва. В данный момент в нашей системе отсчета, системе отсчета наблюдателя, оба космических корабля ускоряются в одном направлении вдоль линии между ними с одинаковым постоянным собственным ускорением^{[note 4]} Вопрос — разорвется ли веревка?

Основная статья рассказывает о том, что, когда парадокс был новым и малоизученным, даже у профессиональных физиков возникли трудности с нахождением решения. Две линии рассуждений приводят к противоположным выводам. Есть два аргумента, которые представлены ниже, являются ошибочными, несмотря на то, что один из них дает правильный ответ.^{[19]:106,120–122}

1. Для наблюдателя находящегося в покоящейся системе отсчета, космические корабли начинают движение с дистанции L между ними и остаются на одном и том же расстоянии друг от друга во время ускорения. Во время ускорения L является укороченной длиной от длины Ĺ = γL в системах ускоряющихся космических кораблей. Спустя достаточно длительное время γ увеличиться настолько, что веревка должна разорваться.
2. Пусть А и В будут задним и передним космическими кораблями. В системах отсчета космических кораблей каждый космический корабль видит, что другой космический корабль делает то же самое, что и он. A говорит, что B имеет такое же ускорение, что и у него, и B видит, что A копирует каждое его движение. Таким образом, космические корабли остаются на одном и том же расстоянии друг от друга, и веревка остается целой.^{[19]:106,120–122}

Проблема с первым объяснением заключается в том, что нет системы отсчета космических кораблей. Такой не может быть, потому что два космических корабля измеряют растущее расстояние между ними. Поскольку нет единой системы отсчета космических кораблей, длина веревки не определена. Тем не менее, вывод верен, и объяснение в основном правильное. А вот второе объяснение совершенно игнорирует относительность одновременности.^{[19]:106,120–122}

Решение этого парадокса становится очевидным, если использовать пространственно-временную диаграмму (рис. 4-5). Два наблюдателя в пространстве-времени Минковского ускоряются с постоянной величиной ускорения ${\displaystyle k}$ за собственное время ${\displaystyle \sigma }$ (ускорение и прошедшее время измеряются самими наблюдателями, а не сторонним инерциальным наблюдателем). Они являются сопутствующими и инерциальными до и после фазы ускорения. Как отметил Белл, в геометрии Минковского длина пространственноподобного отрезка A′B″ "оказывается больше длины пространственноподобного отрезка AB.

Увеличение длины можно рассчитать с помощью преобразования Лоренца. Если, как показано на рис. 4-5, ускорение закончено, корабли останутся с постоянным смещением в некоторой системе отсчета ${\displaystyle S'.}$ Если ${\displaystyle x_{A}}$ и ${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$  — позиции кораблей в ${\displaystyle S,}$ то позиции в системе отсчета ${\displaystyle S'}$ :^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}}$

«Парадокс» как бы исходит из того, как Белл построил свой пример. В обычном обсуждении сокращений Лоренца покоящаяся линейка фиксирована, а движущаяся линейка сокращается измерениям в системе отсчета ${\displaystyle S}$ . Как показано на фиг.4-4, пример Белла вводит движущиеся длины ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle A'B'}$ , измеренные в системе отсчета ${\displaystyle S}$ как фиксированные, тем самым увеличивая покоящуюся длину ${\displaystyle A'B''}$ в системе отсчета ${\displaystyle S'}$ .

Ускоренный наблюдатель с горизонтом

Основные статьи: Горизонт событий, Координаты Риндлера

Некоторые специальные задачи по теории относительности могут привести к пониманию вещей, обычно связанных с общей теорией относительности. Это, например, горизонт событий. В тексте, сопровождающем рис. 2-7 в разделе инвариантная гипербола, мы отметили, что пурпурные гиперболы представляют собой реальные пути, которые проходит постоянно ускоряющийся путешественник в пространстве-времени. В периоды положительного ускорения скорость движения приближается к скорости света, в то время как в нашей системе отсчета ускорение путешественника постоянно уменьшается.

На рис.4-6 подробно описаны различные особенности движений путешественника. В любой момент его пространственная ось образована линией, проходящей через начало координат и его текущее положение на гиперболе, а его ось времени является касательной к гиперболе в его местоположении. Параметр скорости ${\displaystyle \beta }$ приближается в пределе единице с ростом ${\displaystyle ct}$ . Аналогично, ${\displaystyle \gamma }$ приближается к бесконечности.

Форма инвариантной гиперболы соответствует пути постоянного собственного ускорения. Это можно показать следующим образом:

1. Мы знаем что ${\displaystyle \beta =ct/x.}$
2. Так как ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2},}$ заключаем, что ${\displaystyle \beta (ct)=ct/{\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}.}$
3. ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}/s}$
4. С точки зрения релятивисткого закона силы, ${\displaystyle F=dp/dt=}$ ${\displaystyle dpc/d(ct)=d(\beta \gamma mc^{2})/d(ct).}$
5. Подставляя ${\displaystyle \beta (ct)}$ из шага 2 и выражения для ${\displaystyle \gamma }$ из шага 3 получаем ${\displaystyle F=mc^{2}/s,}$ , которая является постоянным выражением.^{[17]:110–113}

На рис.4-6 иллюстрируется конкретный расчетный сценарий. Теренс (A) и Стелла (B) первоначально стоят вместе в 100 световых часах от начала координат. Стелла взлетает в момент 0, её космический корабль ускоряется со скоростью 0.01 c в час. Каждые двадцать часов Теренс по радио сообщает Стелле о ситуации дома (сплошные зеленые линии). Стелла получает эти регулярные передачи, но возрастающее расстояние (частично компенсируемое замедлением времени) заставляет её получать сообщения Теренса позже и позже, согласно её часам, и она никогда не получает никаких сообщений от Теренса после 100 часов по его часам (пунктирные зеленые линии).^{[17]:110–113}

Через 100 часов по часам Теренса Стелла входит в темную область. Она путешествовала за пределами времениподобного будущего Теренса. С другой стороны, Теренс может бесконечно продолжать получать сообщения Стеллы. Ему просто нужно подождать достаточно долго. Пространство-время было разделено на отдельные регионы кажущимся горизонтом событий. Пока Стелла продолжает ускоряться, она не может узнать, что происходит за этим горизонтом^{[17]:110–113}

Основные положения

Теории Ньютона предполагали, что движение происходит на фоне жесткой евклидовой системы отсчета, которая распространяется во всем пространстве и во все времена. Гравитация опосредована таинственной силой, действующей мгновенно на расстоянии, действия которой не зависят от промежуточного пространства.^{[note 5]} Эйнштейн отрицал, что существует какая-либо фоновая евклидова система отсчета, которая распространяется во всем пространстве. Также как нет такой вещи, как сила тяготения, а есть только структура самого пространства-времени.^{[7]:175–190}

В пространстве-времени путь спутника, вращающегося вокруг Земли, не продиктован отдаленными влияниями Земли, Луны и Солнца. Вместо этого спутник перемещается в пространстве только под влиянием локальных условий. Поскольку пространство-время везде локально плоское, если рассматривать его в достаточно малом масштабе, спутник всегда следует по прямой в своей локальной инерциальной системе координат. Мы говорим, что спутник всегда следует по пути геодезической (англ.)русск.. Гравитацию нельзя обнаружить рядом с движениями только одной частицы.^{[7]:175–190}

При любом анализе пространства-времени для доказательства гравитации требуется наблюдения относительных ускорений двух тел или двух отдельных частиц. На рис. 5-1 две разделенные частицы, свободно падающие в гравитационном поле Земли, проявляют приливные ускорения из-за локальных неоднородностей в гравитационном поле, так что каждая частица идет по другому пути через пространство-время. Приливные ускорения, которые эти частицы проявляют относительно друг друга, не требуют сил для их объяснения. Скорее, Эйнштейн описал их в терминах геометрии пространства-времени, то есть кривизны пространства-времени. Эти приливные ускорения строго локальны. Это совокупный общий эффект многих локальных проявлений кривизны, которые приводят к появлению гравитационной силы, действующей на большом расстоянии от Земли.^{[7]:175–190}

В основе общей теории относительности лежат два основных положения.

• Первым важным понятием является координатная независимость: законы физики не могут зависеть от того, какую систему координат использовать. Это важное расширение принципа относительности по сравнению с версией, используемой в специальной теории относительности, в которой говорится, что законы физики должны быть одинаковыми для каждого наблюдателя, движущегося в неускоренных (инерциальных) системах отсчета. В общей теории относительности, чтобы использовать собственные (переведенные) слова Эйнштейна, «законы физики должны быть такого характера, что они применимы к системам отсчета в любом виде движения.»^[29]:113Это приводит к проблеме: в ускоренных системах отсчета ощущается сила, которая, позволит обнаружить наличие ускорения в абсолютном смысле. Эйнштейн разрешил эту проблему при помощи принципа эквивалентности.^{[30]:137–149}
• Принцип эквивалентности утверждает, что в любой достаточно малой области пространства эффекты гравитации не отличаются от ускорения.

На рисунке 5-2 человек A находится в космическом корабле, вдали от любых массивных объектов, который подвергается равномерному ускорению g. Человек B находится в ящике, покоящемся на Земле. При условии, что космический корабль достаточно мал, так что приливные эффекты не поддаются измерению (учитывая чувствительность прибора измерения силы тяжести, A и B предположительно должны быть лилипутами), не существует экспериментов, которые могли бы выполнять A и B и которые позволили бы им определить, в чём они находятся.^{[30]:141–149}

Альтернативное формулирование принципа эквивалентности состоит в том, что в универсальном законе тяготения Ньютона F = GMm_g /r² = m_gg и во втором законе Ньютона F = m_ia, нет причины априори, почему гравитационная масса m_g должна быть равна инерционной массе m_i. Принцип эквивалентности утверждает, что эти две массы идентичны.^{[30]:141–149}

Чтобы перейти от элементарного описания искривленного пространства-времени выше к полному описанию гравитации, требуется тензорное исчисление и дифференциальная геометрия, которые требуют серьезного изучения. Без этих математических инструментов можно написать об общей теории относительности, но невозможно продемонстрировать какие-либо нетривиальные выводы.

Вместо попытки предложить (еще одно) относительно не математическое представление об общей теории относительности, читателю предлагается перейти на уже опубликованные статьи Введение в общую теорию относительности (англ.)русск. и Общая теория относительности.

В этом разделе основное внимание будет уделено изучению нескольких элементарных случаев, которые служат для поверхностного знакомства с общей теории относительности.

Кривизна времени

В обсуждении специальной теории относительности силы играли второстепенную роль. Специальная теория относительности предполагает возможность задавать инерциальные системы отсчета, которые заполняют все пространство-время, и все часы которых идут в одинаковом темпе с часами в начале координат. Действительно ли возможно? В неоднородном гравитационном поле эксперимент говорит — нет. Гравитационные поля не позволяют построить глобальную инерциальную систему отсчета. В достаточно малых областях пространства-времени все ещё возможны локальные инерциальные системы отсчета. Общая теория относительности включает в себя систематическое сшивание этих локальных систем отсчета в более общую картину пространства-времени.^{[13]:118–126}

Вскоре после публикации общей теории относительности в 1916 году ряд ученых указал, что общая теория относительности предсказывает существование гравитационного красного смещения. Сам Эйнштейн предложил следующий мысленный эксперимент: (i) Предположим, что была построена башня высоты h (рис. 5-3). (ii) Бросим частицу с массой покоя m с верхней части башни. Она свободно падает с ускорением g, достигая земли со скоростью v = (2gh)^1/2, её полная энергия E, измеренная наблюдателем на земле, равна m + ½mv²/c² = m + mgh/c². (iii) Преобразователь массы-энергии преобразует полную энергию частица в один высокоэнергетический фотон, который он направляет вверх. (iv) В верхней части башни преобразователь энергии-массы преобразует энергию фотона É обратно в частицу массы покоя ḿ.^{[13]:118–126}

В результате должно быть m = ḿ, иначе можно было бы построить вечный двигатель. Поэтому мы прогнозируем, что É = m, так что

${\displaystyle {\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}=}$ ${\displaystyle {\frac {m}{m+mgh/c^{2}}}=}$ ${\displaystyle 1-{\frac {gh}{c^{2}}}}$

При подъёме в гравитационном поле Земли фотон теряет энергию, получая красное смещение. Ранние попытки измерить это красное смещение с помощью астрономических наблюдений были несколько неубедительными, но окончательные лабораторные наблюдения были выполнены в эксперименте Паунда и Ребки (1959), а позже — Паунда и Шнайдера (1964).^[31]

Свет имеет соответствующую частоту, и эта частота может использоваться для управления работой часов. Гравитационное красное смещение приводит к важному выводу о времени: гравитация замедляет время. Предположим, мы построим двое одинаковых часов, чьи скорости контролируются некоторым стабильным атомным переходом. Поместим одни часы наверху башни, в то время как другие часы оставим на земле. Экспериментатор на верху башни регистрирует сигналы от наземных часов как имеющие более низкую частоту, чем сигналы часов рядом с ним на башне. Свет, поднимающийся на башню, — это просто волна, и невозможно, чтобы гребни волн исчезли по пути вверх. Число осцилляции света, поступающих в верхнюю часть башни, равно числу, испускаемому внизу. Экспериментатор приходит к выводу, что наземные часы идут медленнее, и это можно подтвердить, спустив часы с башни, чтобы сравнить рядом с наземными часами.^[10]:16-18 Для башни 1 км разница будет составлять около 9,4 наносекунды в день, легко измеримая с помощью современной аппаратуры.

Часы в гравитационном поле не идут с одинаковой скоростью. Эксперименты, такие как эксперимент Паунда-Ребки, уверенно установили кривизну временной составляющей пространства-времени. Эксперимент Паунда-Ребки ничего не говорит о кривизне пространственного компонента пространства-времени. Но учтите, что теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени, вообще не зависят от аргументов общей теории относительности. Любая теория гравитации будет предсказывать гравитационное замедление времени, если она соблюдает принцип эквивалентности.^[10]:16 Включая ньютоновскую гравитацию. В общей теории относительности легко показывается как в Ньютоновском пределе (то есть когда частицы движутся медленно, гравитационное поле слабое и статичное), кривизны одного времени достаточно для получения Закон тяготения Ньютона.^{[32]:101–106}

Ньютоновская гравитация — теория искривленного времени. Общая теория относительности — это теория искривленного времени и искривленного пространства. Полагая G как гравитационную постоянную, M как массу ньютоновской звезды и орбитальные тела с незначительной массой на расстоянии r от звезды, в пространственно-временном интервале для ньютоновской гравитации переменым является только коэффициент времени:^[10]:229-232

${\displaystyle \Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}}$ ${\displaystyle -\,(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

Кривизна пространства

Коэффициент ${\displaystyle (1-2GM/(c^{2}r))}$ перед ${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$ описывает кривизну времени в ньютоновской гравитации, и это кривизна полностью учитывает все ньютоновские гравитационные эффекты. Как и ожидалось, этот поправочный коэффициент прямо пропорционален ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle M}$ , а из-за ${\displaystyle r}$ в знаменателе поправочный коэффициент увеличивается по мере приближения к гравитирующему телу, что означает искривление времени.

Но общая теория относительности — это теория искривленного пространства и искривленного времени, поэтому, если существуют члены, изменяющие пространственные компоненты интервала пространства-времени, представленного выше, не следует ли рассматривать эффекты на планетарных и спутниковых орбитах как результат коэффициентов кривизны, стоящих у пространственных членов?

Ответ заключается в том, что они видны, но эффекты крошечные. Причина в том, что скорости планет чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света, так что для планет и спутников солнечной системы член ${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$ перекрывает пространственные члены.^[10]:234-238

Несмотря на малость пространственных членов, первые признаки того, что что-то было не так с ньютоновским гравитацией, были обнаружены полтора века назад. В 1859 году Урбен Леверье в анализе доступных временных наблюдений за смещениями Меркурия над диском Солнца с 1697 по 1848 год сообщил, что известная физика не может объяснить орбиту Меркурия, кроме как допустить существование на орбите Меркурия другой планеты или пояса астероидов. Перигелий орбиты Меркурия показал наличие избыточной скорости прецессии по сравнению с тем, что может быть объяснено влиянием других планет.^[33] Возможность обнаруживать и точно измерять минутное значение этой аномальной прецессии (всего 43 угловых секунды за тропический год) является свидетельством большой точности астрометрии XIX века.

Как и знаменитый астроном, который когда-то обнаружил существование Нептуна «на кончике пера», анализируя колебания орбите Урана, объявление Леверье вызвало двухлетний период «Вулканомании», когда астрономы-профессионалы и астрономы-любители охотились за гипотетической новой планетой. Этот поиск включал несколько ложных наблюдений Вулкана. В конечном итоге было установлено, что никакой планеты или пояса астероидов не существует.^[34]

В 1916 году Эйнштейн должен был показать, что эта аномальная прецессия Меркурия объясняется пространственными членами в кривизне пространства-времени. Кривизна во временном члене, будучи просто выражением ньютоновской тяготения, не имеет никакого отношения к объяснению этой аномальной прецессии. Успех его расчета был мощным показателем для сверстников Эйнштейна, что общая теория относительности может быть верной.

Наиболее впечатляющим из предсказаний Эйнштейна был расчет того, что члены кривизны в пространственных компонентах интервала пространства-времени могут быть измерены при изгибе света около массивного тела. Свет имеет наклон ±1 на диаграмме пространства-времени. Его движение в пространстве равно его движению во времени. Для выражения слабого поля инвариантного интервала Эйнштейн рассчитал точно равную, но противоположную по знаку кривизну в пространственных компонентах.^{[10]:234–238}

${\displaystyle \Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}}$ ${\displaystyle -\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}$

В гравитации Ньютона коэффициент ${\displaystyle (1-2GM/(c^{2}r))}$ перед ${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$ предсказывает изгиб света вокруг звезды. В общей теории относительности коэффициент ${\displaystyle (1+2GM/(c^{2}r))}$ перед ${\displaystyle \left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}$ предсказывает изгиб вдвое больший.^{[10]:234–238}

Историю экспедиции Эддингтона 1919 года и вознесения Эйнштейна можно изучить в дополнительном источнике.^[35]

Источники кривизны пространства-времени

В законе всемирного тяготения Ньютона единственным источником гравитационной силы является масса.

Общая теория относительности указывает несколько источников кривизны пространства-времени в дополнение к массе. В уравнениях поля Эйнштейна, источники силы тяжести представлены в правой части в ${\displaystyle T_{\mu \nu },}$ the тензора энергии-импульса.

На рис. 5-5 классифицируются различные источники силы тяжести в тензоре энергии напряжений:

• ${\displaystyle T^{00}}$ (красный): полная плотность массы, включая любые вклады в потенциальную энергию от сил между частицами, а также кинетическую энергию от случайных тепловых движений.
• ${\displaystyle T^{0i}}$ and ${\displaystyle T^{i0}}$ (оранжевый): это коэффициенты плотности импульса. Даже если движение масс отсутствует, энергия может передаваться теплопроводностью, и энергия проводимости будет иметь импульс.
• ${\displaystyle T^{ij}}$  — скорости потока i-компоненты импульса на единицу площади в J-направлении. Даже если нет движения массы, случайные тепловые движения частиц будут приводить к импульсному потоку, поэтому компоненты i = j (зеленый) представляют изотропное давление, а компоненты i ≠ j (синие) представляют собой сдвиговые напряжения.^[36]

Из уравнений можно сделать один важный вывод, который на разговорном языке можно назвать как гравитация сама создает гравитацию.^{[note 6]} Энергия имеет массу. Даже в ньютоновской гравитации гравитационное поле связано с энергией, E = mgh,, называемой гравитационной потенциальной энергией. В общей теории относительности энергия гравитационного поля возвращается к созданию гравитационного поля. Это делает уравнения нелинейными и трудными для решения во всех случаях, кроме случая слабого поля.^[10]:240 Численная_относительность является ветвью общей теории относительности и использует численные методы с привлечением суперкомпьютеров для изучения черных дыр, гравитационных волн, нейтронных звезд и других явлений с сильными полями.

Энергия-импульс

Рисунок 5-6. (слева) Масса-энергия деформирует пространство-время.
(справа) Вращающееся распределение массы-энергии с моментом импульса J генерирует гравитомагнитное поле H

В специальной теории относительности масса-энергия тесно связана с импульсом. Как мы уже обсуждали ранее в разделе Энергия и импульс, так же, как пространство и время являются разными аспектами более всеобъемлющего объекта, называемого пространством-временем, масса-энергия и импульс просто разные аспекты единой, четырёхмерной величины, называемой четырёхимпульс. Следовательно, если масса-энергия является источником силы тяжести, импульс также должен быть таким источником. Включение импульса в качестве источника силы тяжести приводит к предсказанию того, что движущиеся или вращающиеся массы могут генерировать поля, аналогичные магнитным полям, генерируемым движущимися зарядами, явление, известное как гравитомагнетизм.^[37]

Хорошо известно, что сила магнетизма может быть выведена путем применения правил специальной теории относительности к движущимся зарядам. (Красноречивая демонстрация этого была представлена Фейнманом в томе II, глава 13-6 его Лекций по физике, доступных онлайн.^[38]) Аналогичную логику можно использовать для доказательства происхождения гравитомагнетизма. На рис.5-7а два параллельных бесконечно длинных потока массивных частиц имеют равные и противоположные скорости -v и +v относительно неподвижной пробной частицы, центрированной между ними. Из-за симметрии установки общая сила на центральную частицу равна нулю. Предположим, что v << c, так что скорости просто суммируются. На рис.5-7b показана точно такая же установка, но в системе отсчета верхнего потока. Пробная частица имеет скорость +v, а нижний поток имеет скорость +2v. Поскольку физически ситуация не изменилась, а изменилась только система отсчета, в которой мы наблюдаем за экспериментом, пробная частица не должна притягиваться ни к одному из потоков. Но не очевидно, что силы, действующие на пробную частицу, равны. (1) Поскольку нижний поток движется быстрее верхнего, каждая частица в нижнем потоке имеет большую массу-энергию, чем частица в верхнем. (2) Из-за сокращения Лоренца в нижнем потоке больше частиц на единицу длины, чем в верхнем потоке. (3) Ещё один вклад в активную гравитационную массу нижнего потока исходит из дополнительного члена давления, для обсуждения которого на данный момент у нас недостаточно подготовки. Все эти эффекты вместе, казалось бы, дожны требовать, чтобы пробная частица притягивалась к нижнему потоку.

Пробная частица не притягивается к нижнему потоку из-за зависящей от скорости силы, которая отталкивает частицу движущуюся в том же направлении, что и нижний поток. Этот зависящий от скорости гравитационный эффект является гравитомагнетизмом.^{[10]:245–253}

Таким образом, материя, движущаяся через гравитамагнитное поле, подвержена так называемым эффектам увлечения инерциальных систем отсчёта, аналогичным электромагнитной индукции. Было предложено, что такие гравитамагнитные силы лежат в основе генерации релятивистских струй (джетов) (см. рис. 5-8), выбрасывемых некоторыми вращающимися сверхмассивными черными дырыми.^[39][40]

Экспериментальная проверка

Эти предсказания о роли давления, импульса и механического напряжения в качестве источников кривизны пространства-времени играют важную роль в общей теории относительности. Если рассмотреть давление, то в ранней Вселенной преобладало излучение,^[42] и маловероятно, чтобы любые из соответствующих космологических данных (например, нуклеосинтез) могут быть воспроизведены, если бы давление не участвовало в гравитации, или если бы оно не имело такой же силы в качестве источника силы тяжести, как масса-энергия. Аналогично, математическая согласованность уравнений поля Эйнштейна была бы нарушена, если бы механическое напряжение не вносило вклад в силу тяжести.

Все это хорошо, но есть ли какие-либо прямые, количественные экспериментальные или наблюдаемые измерения, которые подтверждают, что эти термины влияют на гравитацию?

• Активная, пассивная и инерционная масса

Прежде чем обсуждать экспериментальные данные по различным источникам гравитации, нам нужно сначала обсудить различия Бонди между возможными типами массы: (1) активная масса (${\displaystyle m_{a}}$ ) масса, которая действует как источник гравитационного поля; (2) пассивная масса (${\displaystyle m_{p}}$ ) — масса, которая реагирует на гравитационное поле; (3) инерционная масса (${\displaystyle m_{i}}$ ) — масса, которая реагирует на ускорение.^[43]

• ${\displaystyle m_{p}}$ совпадает с тем, что мы ранее называли гравитационной массой (${\displaystyle m_{g}}$ ) в нашем обсуждении принципа эквивалентности в разделе Основные положения.

В теории Ньютона,

• Третий закон действия и противодействия диктует, что ${\displaystyle m_{a}}$ и ${\displaystyle m_{p}}$ должны быть одинаковыми.
• С другой стороны, равны ли ${\displaystyle m_{p}}$ и ${\displaystyle m_{i}}$ это эмпирический результат.

В общей теории относительности,

• Равенство ${\displaystyle m_{p}}$ и ${\displaystyle m_{i}}$ продиктовано принципом эквивалентности.
• Нет принципа «действия и противодействия» с диктовкой любых отношений между ${\displaystyle m_{a}}$ и ${\displaystyle m_{p}}$ .^[43]

• Давление как источник гравитации

Рисунок 5-10. Эксперимент по лазерной локации Луны.
(слева) Этот светоотражатель оставлен на Луне астронавтами в миссии Аполлон-11.
(справа) Астрономы во всем мире ловили свет от светоотражателей, оставленных астронавтами Аполлона и российских луноходов, чтобы измерить точное расстояние между Землей и Луной.

Классический эксперимент по измерению силы источника гравитации (то есть его активной массы) был впервые проведен в 1797 году — это был Эксперимент Кавендиша (рис. 5-9а). Два маленьких но плотных шара подвешиваются на тонкой проволоке, образуя крутильные весы. Приближение двух больших масс близко к шарам приводит к заметному крутящему моменту. Учитывая размеры устройства и измеряемый кэффициент упругости подвеса, можно определить гравитационную постоянную G.

Изучение эффектов давления путем сжатия испытываемых масс является бесполезным, поскольку достижимые лабораторные давления незначительны по сравнению с массой-энергией металлического шарика.

Однако отталкивающее электромагнитное давление, возникающее при плотном сжатии протонов внутри атомных ядер, обычно составляет порядка 10 ²⁸ атм ≈ 10³³ Па ≈ 10³³ кг·с⁻²т¹. Это составляет около 1 % от массовой плотности ядра примерно 10¹⁸кг/м³ (после факторизации в c ² ≈ 9 × 10¹⁶ т² c⁻²).^[44]

Если давление не является источником гравитации, то отношение ${\displaystyle m_{a}/m_{p}}$ должно быть ниже для ядер с более высоким атомным номером Z, в котором больше электростатическое давление. Л. Б. Крейзер (1968) провел эксперимент Кавендиша с использованием массы тефлона, суспендированной в смеси жидкостей трихлорэтилена и дибромэтана, имеющих ту же плавучую плотность, что и тефлон (рис. 5-9b). Фтор имеет атомный номер Z = 9, а бром имеет Z = 35. Крейцер обнаружил, что изменение массы тефлона не приводит к дифференциальному отклонению торсионного стержня, поэтому установление активной массы и пассивной массы эквивалентно точности 5 × 10⁻⁵.^[45]

Хотя Крейцер первоначально считал этот эксперимент просто проверкой отношения активной массы к пассивной массе, Клиффорд Уилл (1976) переинтерпретировал эксперимент как фундаментальный тест на связывание источников с гравитационными полями.^[46]

В 1986 году Бартлетт и Ван Бурен отметили, что лазерная локация Луны обнаружила смещение в 2 км между центром формы Луны и её центром масс. Это указывает на асимметрию распределения Fe (много в лунном ядре) и Al (много в её коре и мантии). Если бы давление не способствовало равномерности кривизны пространства-времени, как масса-энергия, луна не была бы на орбите, предсказанной классической механикой. Они использовали свои измерения для сужения пределов любых расхождений между активной и пассивной массой примерно до 1 × 10⁻¹².^[47]

Гравитомагнетизм

Существование гравитомагнетизма было доказано при помощи Gravity Probe B (GP-B), спутниковой миссии, которая была запущена 20 апреля 2004 года^[48]. Фаза космического полета продолжалась до 2005 года. Цель миссии состояла в том, чтобы измерить кривизну пространства-времени около Земли с особым упором на гравитомагнетизм.

Первоначальные результаты подтвердили относительно большую геодезическую прецессию (которая объясняется просто кривизной пространства-времени и также известна как прецессия де Ситтера) с точностью около 1 %. Значительно меньший эффект увлечения инерциальных систем отсчёта (который обусловлен гравитомагнетизмом и также известен как Эффект Лензе—Тирринга) было трудно измерить из-за неожиданных эффектов заряда, вызывающих переменный дрейф в гироскопах. Тем не менее, к августу 2008, увлечения инерциальных систем отсчёта был подтвержден в пределах 15 % от ожидаемого результата^[49], в то время как геодезическая прецессия была подтверждена до 0,5 %^[50][51].

Последующие измерения увлечения инерциальных систем отсчета с помощью лазерно-дальномерных наблюдений спутников LARES, LAGEOS-1 и LAGEOS-2 улучшили измерения GP-B, с результатами (по состоянию на 2016 год), демонстрирующим эффект в пределах 5 % от его теоретического значения^[52], хотя были некоторые споры по поводу точности этого результата^[53].

Ещё одна попытка — эксперимент «Гироскопы в общей теории относительности» (GINGER) — предполагает использование трёх 6-дюймовых кольцевых лазеров (англ.)русск., установленных под прямым углом друг к другу на 1400 м над земной поверхностью для измерения этого эффекта^[54][55].

Действительно ли пространство-время искривлено?

В конвенциональных взглядах Пуанкаре существенными критериями, согласно которым следует выбрать евклидову или неевклидову геометрию, является экономичность и простота. Реалист сказал бы, что Эйнштейн обнаружил, что пространство-время было неевклидовым. Традиционалист сказал бы, что Эйнштейн просто счел более удобным использовать неевклидову геометрию. Традиционалист утверждал бы, что анализ Эйнштейна ничего не сказал о том, какая действительно геометрия пространства-времени.^[56]

Другими словами,

1. Можно ли представить общую теорию относительности в терминах плоского пространства-времени?

2. Существуют ли ситуации, когда плоская пространственно-временная интерпретация общей теории относительности может быть более удобной, чем обычная искривленная пространственно-временная интерпретация?

В ответ на первый вопрос ряд авторов, в том числе Дезер, Грищук, Розен, Вайнберг и т. д., представили различные формулировки гравитации как поля в плоском многообразии. Эти теории имеют разные названия, такие как «биметрическая гравитация», «теоретико-полевой подход к общей теории относительности» и т. д.^{[57][58][59][60]} У Кип Торна есть популярный обзор этих теорий.^{[61]:397–403}

Плоская пространственно-временная парадигма утверждает, что материя создает гравитационное поле, которое заставляет линейки сжиматься, когда они повернуты от периферической ориентации к радиальной, и это приводит к тому, что скорости тикания часов замедляются. Плоская пространственно-временная парадигма полностью эквивалентна искривленной парадигме пространства-времени в том, что они обе представляют одни и те же физические явления. Однако их математические формулировки совершенно разные. Работая физики обычно переключаются между использованием методов искривленного и плоского пространства-времени в зависимости от требований задачи. Плоская пространственно-временная парадигма оказывается особенно удобной при выполнении приближенных вычислений в слабых полях. Следовательно, при решении задач гравитационнох волн будут использоваться методы плоского пространства-времени, а при анализе черных дыр будут использоваться методы искривленного пространства-времени.

Геометрия Римана

Искривленные многообразия

Привилегированное положение 3+1 пространства-времени

Существует два вида размерностей: пространственные и временные. Пространственную размерность обозначают буквой N, а временную буквой Т. Пространственно-временной континуум с размерностью N=3 и Т=1 имеет преимущество с точки зрения антропного принципа.