WikiSort.ru - Не сортированное

Быстрота́ (англ. rapidity, иногда применяются^[1] также термины гиперскорость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.

Определение и свойства

Быстрота выражается формулой:

${\displaystyle \theta =c\,\mathrm {Arth} \,{\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},}$

где

• ${\displaystyle \theta }$  — быстрота,
• ${\displaystyle v}$  — обычная скорость,
• ${\displaystyle c}$  — скорость света,
• ${\displaystyle \mathrm {Arth} \,x}$  — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) ${\displaystyle \mathrm {Arth} \,x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}$ определён в области значений аргумента от −1 до +1; при ${\displaystyle x\to \pm 1}$ функция ${\displaystyle \mathrm {Arth} \,x\to \pm \infty .}$

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от ${\displaystyle -c}$ до ${\displaystyle +c}$ меняется от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$ . Иногда вводят также параметр быстроты ${\displaystyle \varphi \equiv \theta /c\equiv \mathrm {Arth} \,{\frac {v}{c}}}$  — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

${\displaystyle \theta \approx v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)}$ при ${\displaystyle v\ll c}$ .

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$ две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна ${\displaystyle v_{1}}$ , а скорость второй относительно первой равна ${\displaystyle v'_{2}}$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе ${\displaystyle K}$ через ${\displaystyle v_{2}}$ . При малых (по сравнению со скоростью света ${\displaystyle c}$ ) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2}}$ . Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

${\displaystyle v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}}}}}$

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты ${\displaystyle \theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c}}}$ . Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта ${\displaystyle K}$ равна сумме быстрот:

${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.}$

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Геометрический смысл быстроты

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского (${\displaystyle x_{0}=ict}$ ) этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j²=+1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρe^jφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = e^jφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных Лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты:

λ(φ)·λ(ψ) = e^jφ·e^jψ = e^{j(φ + ψ)} = λ(φ + ψ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

Релятивистский импульс:

${\displaystyle p=mc\cdot \mathrm {sh} \,{\frac {\theta }{c}}=mc\cdot \mathrm {sh} \,\varphi ,}$

где:

• m — масса,
• c — скорость света,
• φ = θ/c — параметр быстроты (безразмерная быстрота).

Полная энергия:

${\displaystyle E=E_{0}\cdot \mathrm {ch} \,{\frac {\theta }{c}}=E_{0}\cdot \mathrm {ch} \,\varphi ,}$

где ${\displaystyle E_{0}}$  — энергия покоя.

Скорость в СТО:

${\displaystyle v=c\cdot \mathrm {th} \,{\frac {\theta }{c}}=c\cdot \mathrm {th} \,\varphi .}$

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

${\displaystyle 1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },}$

где ${\displaystyle z}$  — параметр красного смещения.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского // Соросовский образовательный журнал. — т. 8. — 2004. — с. 77—84.
• Прохоров А. М. Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 233. — 704 с.

Примечания