WikiSort.ru - Не сортированное

Указанные соотношения неопределённостей можно получить, исходя из уравнений Эйнштейна

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}$

где ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }}$  — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор, ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$  — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени ${\displaystyle R_{abcd}}$ посредством свёртки его по паре индексов, ${\displaystyle R}$  — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$  — метрический тензор, ${\displaystyle \Lambda }$  — космологическая постоянная, а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, ${\displaystyle \pi }$  — число пи, ${\displaystyle c}$  — скорость света в вакууме, ${\displaystyle G}$  — гравитационная постоянная Ньютона).

В приведенной форме сущность правой стороны уравнений Эйнштейна сильно затемнена. Целесообразно переписать эти уравнения, сгруппировав константы в отдельные множители, имеющие определенный смысл

${\displaystyle \left({\frac {1}{4\,\pi }}\right)(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })=2\,\left({\frac {G}{c^{3}}}\right)\left({\frac {1}{c}}\,\,T_{\mu \nu }\right).}$

Простая перегруппировка множителей позволяет глубже проникнуть в физическую природу явления. Известно, что множитель ${\displaystyle (1/c)\,T_{\mu \nu }}$ связан с плотностью энергии-импульса материи ^[7], а с помощью множителя ${\displaystyle (G/c^{3})}$ можно выполнить переход к планковскому масштабу, так как такой же множитель присутствует и в выражении для планковской длины ${\displaystyle \ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\,\hbar }}}$ .

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым, т.е. искривленным. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Для любого тензорного поля ${\displaystyle N_{\mu \nu ...}}$ величину ${\displaystyle N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}}$ можно назвать тензорной плотностью, где ${\displaystyle g}$ - определитель метрического тензора ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ . Когда область интегрирования мала, ${\displaystyle \int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат ^[8]. Здесь рассматриваются только малые области. Вышесказанное справедливо и при интегрировании по трехмерной гиперповерхности ${\displaystyle S^{\nu }}$ .

Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства-времени можно проинтегрировать по трехмерной гиперповерхности ${\displaystyle S^{\nu }}$ . Имеем ^[9]

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }=2\,\left({G \over c^{3}}\right)\,{1 \over c}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }.}$

Так как интегрируемая область пространства-времени мала, то есть является практически плоской, получаем тензорное уравнение

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu },}$

где ${\displaystyle P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$ - компонента 4-импульса материи, ${\displaystyle R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$ - компонента 4-радиуса кривизны малой области пространства-времени.

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. Так как ${\displaystyle P_{\mu }=Mc\,U_{\mu }}$ то

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}\,P_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}Mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu },}$ где ${\displaystyle r_{g}}$ - радиус Шварцшильда (инвариант радиуса кривизны), ${\displaystyle U_{\mu }}$ - 4-скорость, ${\displaystyle M}$ - гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величин ${\displaystyle R_{\mu }}$ как компонент гравитационного радиуса ${\displaystyle r_{g}}$ . Заметим, что здесь ${\displaystyle R_{\mu }R^{\,\mu }=r_{g}^{2}}$ (сравните, например, с ${\displaystyle dx_{\mu }dx^{\,\mu }=dS^{2}}$ ).

Выражение для гравитационного радиуса ${\displaystyle r_{g}=2\,(G/c^{3})Mc}$ является более удобной формой записи, чем форма ${\displaystyle r_{g}=2\,(G/c^{2})M}$ . В этом случае видна преемственность между полученным тензорным уравнением и выражением для гравитационного радиуса массивного тела.

Для статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем ${\displaystyle U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)}$ . В этом случае получаем

${\displaystyle R_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}Mc\,U_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}\,Mc=r_{g}.}$

В малой области пространство-время практически плоское и тензорное уравнение можно записать в операторном виде

${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}},}$ где ${\displaystyle \hbar }$ - постоянная Дирака. Тогда коммутатор операторов ${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }}$ и ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mu }}$ равен

${\displaystyle [{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}.}$

Откуда следуют вышеуказанные соотношения неопределенностей

${\displaystyle \Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}.}$

Подставляя сюда значения ${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }}$ и ${\displaystyle \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}}$ и сокращая справа и слева одинаковые константы, приходим к соотношениям неопределенностей Гейзенберга.

${\displaystyle \Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Отметим, что теперь, согласно уравнению ${\displaystyle R_{\mu }=(2G/c^{3})P_{\mu }}$ , наряду с выражениями для квантов энергии-импульса ${\displaystyle P_{\mu }=\hbar \,k_{\mu }}$ справедливы выражения для величины ${\displaystyle R_{\mu }=2\ell _{P}^{2}\,k_{\mu }}$ , где ${\displaystyle k_{\mu }}$ - волновой 4-вектор. То есть компоненты ${\displaystyle R_{\mu }}$ квантуются, но шаг квантования чрезвычайно малый.

Для статического сферически симметричного поля и статического распределения материи найденное соотношение неопределенностей принимает вид

${\displaystyle \Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2},}$ где ${\displaystyle r_{g}}$ - радиус Шварцшильда, ${\displaystyle r}$ - радиальная координата. Здесь ${\displaystyle R_{0}=r_{g}}$ , а ${\displaystyle x_{0}=c\,t=r}$ , т.к. на планковском уровне материя движется со скоростью света.

Последнее соотношение неопределенностей позволяет выполнить некоторые оценки уравнений ОТО применительно к планковскому масштабу. Например, выражение для инвариантного интервала ${\displaystyle dS}$ в решении Шварцшильда имеет вид

${\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2}).}$

Подставляя сюда, согласно соотношениям неопределенностей, вместо ${\displaystyle r_{g}}$ величину ${\displaystyle r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r}$ получим

${\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2}).}$

Видно, что на планковском уровне ${\displaystyle r=\ell _{P}}$ инвариантный интервал ${\displaystyle dS}$ ограничен снизу планковской длиной, на этом масштабе появляется деление на ноль, что означает образование реальных и виртуальных планковских черных дыр.

Аналогичные оценки можно выполнить и для других уравнений ОТО. В макроскопической физике, встречаясь с тяжелым телом, надо прежде всего оценить отношение гравитационного радиуса к расстоянию до центра притяжения ${\displaystyle \zeta ={r_{g}}/{r}}$ и мы уже будем знать многое о величине эффектов, связанных с общей теорией относительности. Например, в макромире параметром ${\displaystyle \zeta }$ определяется масштаб изменения хода часов. Для Солнца параметр ${\displaystyle \zeta }$ составляет примерно ${\displaystyle 4\cdot 10^{-6}}$ или ${\displaystyle 1,76}$ угл.сек, то есть луч света, проходя вблизи края диска Солнца, отклонится на величину порядка ${\displaystyle 4\cdot 10^{-6}}$ радиан. Для Меркурия этот параметр будет составлять ${\displaystyle 10^{-7}}$ , что за сто земных лет дает для смещения перигелия Меркурия ${\displaystyle 43}$ угл.сек. Параметр ${\displaystyle \zeta }$ входит и во все остальные оценки. Но, как мы выяснили выше, параметр ${\displaystyle \zeta =r_{g}/r}$ на планковском уровне имеет вид ${\displaystyle \sim \ell _{P}^{2}/r^{2}}$ , поэтому для того, чтобы сделать оценку любого соотношения, получаемого в рамках общей теории относительности применительно к планковскому масштабу, необходимо отношение ${\displaystyle r_{g}/r}$ заменить выражением ${\displaystyle \zeta \sim \ell _{P}^{2}/r^{2}}$ .

Параметр ${\displaystyle \zeta }$ определяет на планковском уровне флуктуации метрики пространства-времени. Метрика пространства-времени ${\displaystyle g_{00}\approx 1-\Delta g=1-\ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}}$ флуктуирует порождая так называемую пространственно-временную квантовую пену, состоящую из виртуальных планковских черных дыр.^[10] Но эти флуктуации ${\displaystyle \Delta g\sim \ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}}$ в макромире и в мире атомов очень малы по сравнению с ${\displaystyle 1}$ и становятся заметными (порядка ${\displaystyle 1}$ ) только на планковском масштабе. Флуктуации ${\displaystyle \Delta g}$ необходимо учитывать при использовании метрики специальной теории относительности (СТО) ${\displaystyle (+1,-1,-1,-1)}$ в очень малых областях пространства и при больших импульсах. То есть выражение для инвариантного интервала ${\displaystyle dS}$ в сферических координатах должно иметь вид

${\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{{(\Delta r)}^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{{(\Delta r)}^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2}).}$

Однако ввиду малости величины ${\displaystyle \ell _{P}^{\,2}/(\Delta r)^{2}}$ выражение для инвариантного интервала в СТО всегда записывается в галилеевой форме, что вообще-то не соответствует действительности. Правильное выражение должно учитывать флуктуации метрики пространства-времени и наличие виртуальных черных дыр при планковском масштабе расстояний. Видно, что на планковском масштабе лоренц-инвариантность нарушается.

Например, известно, что скорость света в некотором месте с гравитационным потенциалом ${\displaystyle \varphi =-Gm/r}$ равна ${\displaystyle c\,'=c\,(1+2\,\varphi /c^{2})=c\,(1-r_{g}/r)}$ . Тогда на планковском масштабе из-за квантовых флуктуаций потенциала выражение для скорости света будет иметь вид ${\displaystyle c\,'=c\,(1-\ell _{p}^{2}/(\Delta \lambda )^{2})}$ . Здесь ${\displaystyle \lambda }$ -- длина волны света, испускаемого источником. Чем большее расстояние от источника пройдет свет и чем короче его длина волны, тем сильнее будет заметна дисперсия лучей из-за накопившихся искажений. В данном случае неоднородности скорости фотонов ${\displaystyle \Delta c=c\,\ell _{p}^{2}/(\Delta \lambda )^{2}}$ определяются не планковской длиной, а её квадратом , так что эти неоднородности неизмеримо малы (порядка ${\displaystyle 10^{-56}\,c}$ для ${\displaystyle \lambda =10^{-7}}$ м) и изображения удаленных источников будут резкими даже на метагалактических расстояниях.^{[11] [12]}

Как отмечено в ^[13], "для области пространства-времени с размерами ${\displaystyle L}$ неопределенность символов Кристоффеля должна быть порядка ${\displaystyle \ell _{P}^{2}/L^{3}}$ , а неопределенность метрического тензора — порядка ${\displaystyle \ell _{P}^{2}/L^{2}}$ . Если ${\displaystyle L}$ — макроскопическая длина, то квантовые ограничения фантастически малы и ими можно пренебрегать даже в атомных масштабах. Если же величина ${\displaystyle L}$ сравнима с ${\displaystyle \ell _{P}}$ , то сохранить прежнее (обычное) понятие пространства становится все труднее и труднее и становится очевидным влияние микрокривизны."

Выражение для флуктуаций метрики согласуется с соотношением неопределенностей Бора-Розенфельда ${\displaystyle \Delta g\,(\Delta L)^{2}\geq 2\ell _{P}^{2}}$ .^[14]

Как подчеркнуто в ^[15], "эти мелкомасштабные флуктуации говорят о том, что повсюду в пространстве все время происходит нечто похожее на гравитационный коллапс, что гравитационный коллапс по существу постоянно совершается, но постоянно совершается и обратный процесс, что кроме гравитационного коллапса Вселенной и звезды необходимо рассматривать также третий и наиболее важный уровень гравитационного коллапса при планковском масштабе расстояний."

Виртуальные планковские черные дыры важны для теории элементарных частиц. При проведении расчетов в современной квантовой теории и, в частности, при вычислении собственной энергии частиц обычно учитывают вклад промежуточных состояний с произвольно большой энергией, что приводит к появлению известных расходимостей. Учет гравитационного взаимодействия соответствующих виртуальных частиц и возможности появления виртуальных (короткоживущих) черных дыр в промежуточном состоянии должен привести к устранению этих расходимостей.^[10]

Возможно, что планковская чёрная дыра (максимон) является конечным продуктом эволюции обычных чёрных дыр, стабильна и больше не подвержена излучению Хокинга. Планковские чёрные дыры характеризует крайне малое сечение взаимодействия - порядка ${\displaystyle 10^{-66}}$ см². Малость сечения взаимодействия нейтральных максимонов с веществом приводит к тому, что значительная (или даже основная) часть материи во Вселенной в настоящее время могла бы состоять из максимонов, не приводя к противоречию с наблюдениями. В частности, максимоны могли бы играть роль невидимого вещества (тёмной материи), существование которого признается в настоящее время в космологии.^[10]

Наконец, анализ уравнения Гамильтона-Якоби в пространствах различной мерности применительно к планковскому масштабу показал, что возникновение виртуальных планковских черных дыр (квантовой пены, основы «ткани» Вселенной) энергетически наиболее выгодно в трехмерном пространстве, что, скорее всего, и предопределило трехмерность наблюдаемого пространства.^[16]