WikiSort.ru - Не сортированное

Определение

Момент импульса ${\displaystyle \mathbf {L} }$ материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$  — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, ${\displaystyle \mathbf {p} }$  — импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}}$  — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как ${\displaystyle \mathbf {L} =\int \mathbf {r} \times \mathbf {dp} ,}$ где ${\displaystyle \mathbf {dp} }$  — импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

${\displaystyle \mathbf {L} _{\Sigma }=\sum \limits _{i}\mathbf {L} _{i}.}$

• Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела и т.п.).

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {p} }$ . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

${\displaystyle L=|\mathbf {r} ||\mathbf {p} |\sin \theta _{r,\;p},}$

где ${\displaystyle \theta _{r,\;p}}$  — угол между ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {p} }$ , определяемый так, чтобы поворот от ${\displaystyle \mathbf {r} }$ к ${\displaystyle \mathbf {p} }$ производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем ${\displaystyle \mathbf {r} }$ в виде ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r_{\parallel }} +\mathbf {r_{\perp }} }$ , где ${\displaystyle \mathbf {r_{\parallel }} }$  — составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а ${\displaystyle \mathbf {r_{\perp }} }$  — аналогично, перпендикулярная ему. ${\displaystyle \mathbf {r_{\perp }} }$ является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора ${\displaystyle \mathbf {p} }$ , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору ${\displaystyle \mathbf {p_{\parallel }} }$ и перпендикулярную ему ${\displaystyle \mathbf {p_{\perp }} }$ . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для ${\displaystyle L}$ .

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =(\mathbf {r_{\perp }} +\mathbf {r_{\parallel }} )\times \mathbf {p} =\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p} +\mathbf {r_{\parallel }} \times \mathbf {p} =\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p} .}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (\mathbf {p_{\perp }} +\mathbf {p_{\parallel }} )=\mathbf {r} \times \mathbf {p_{\perp }} .}$

Сохранение момента импульса

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента): векторная сумма всех моментов импульса относительно любой неподвижной точки (или сумма моментов относительно любой неподвижной оси) для замкнутой системы остается постоянной со временем.

Производная момента импульса по времени есть момент силы:

${\displaystyle \tau ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}$

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathrm {system} }=\mathrm {constant} \leftrightarrow \sum \tau _{\mathrm {ext} }=0,}$

где ${\displaystyle \tau _{\rm {ext}}}$  — момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

По теореме Нётер закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол ${\displaystyle \delta \varphi }$ , радиус-вектор частицы с номером ${\displaystyle i}$ изменятся на ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}}$ , а скорости — ${\displaystyle \delta \mathbf {v} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i}}$ . Функция Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\mathbf {r} _{i}+\delta \mathbf {r} _{i},\;\mathbf {v} _{i}+\delta \mathbf {v} _{i})-{\mathcal {L}}(\mathbf {r} _{i},\;\mathbf {v} _{i})=\sum \limits _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i}\right)=0.}$

С учетом ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf {v} _{i}}}}=\mathbf {p_{i}} ,\;{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }}=\mathbf {{\dot {p}}_{i}} }$ , где ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$  — обобщенный импульс ${\displaystyle i}$ -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} _{i}}}\,\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\,\delta \varphi \times \mathbf {{\dot {r}}_{i}} .}$

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\delta \varphi \sum \limits _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times {\dot {\mathbf {p} _{i}}}+{\dot {\mathbf {r} _{i}}}\times \mathbf {p} _{i}\right)=\delta \varphi {\frac {d}{dt}}\sum \limits _{i}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i})=\delta \varphi {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0,}$

где, ${\displaystyle \mathbf {L} =\sum \mathbf {L} _{i}=\sum \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}}$  — момент импульса системы. Ввиду произвольности ${\displaystyle \delta \varphi }$ , из равенства ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=0}$ следует ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0.}$

На орбите момент импульса распределяется между моментами импульса собственного вращения планеты и её орбитального движения:

${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathrm {total} }=\mathbf {L} _{\mathrm {spin} }+\mathbf {L} _{\mathrm {orbit} }.}$

Импульс момента силы

От момента импульса нужно отличать импульс момента силы. Во вращательном движении момент силы, действуя в течение определённого времени, создаёт импульс момента силы (единица измерения — Н·м·с). Импульс момента силы — это мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во вращательном движении):

${\displaystyle \mathbf {M} =\int \limits _{t_{0}}^{t}\mathbf {r} \times \mathbf {F} (t)\;dt.}$

Оператор момента

В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на ${\displaystyle \hbar }$ (${\displaystyle h}$ с чертой), определяемой, как постоянная Планка, поделенная на ${\displaystyle 2\pi }$ . Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновой момент импульса всегда кратен ${\displaystyle \hbar /2}$ для фермионов и ${\displaystyle \hbar }$ для бозонов. Например, электрон в состоянии покоя имеет момент импульса ${\displaystyle \hbar /2}$ .^[2]

В классическом определении момент импульса зависит от 6 переменных ${\displaystyle r_{x}}$ , ${\displaystyle r_{y}}$ , ${\displaystyle r_{z}}$ , ${\displaystyle p_{x}}$ , ${\displaystyle p_{y}}$ , и ${\displaystyle p_{z}}$ . Переводя это на квантовомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и какой-либо одной его компоненты (проекции).

Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }},}$

где ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$  — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй — на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla ),}$

где ${\displaystyle \nabla }$  — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:

${\displaystyle [L_{i},\;L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k},\quad \left[L_{i},\;\mathbf {L} ^{2}\right]=0,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$  — Символ Леви-Чивиты;

и даже более важные подстановки с гамильтонианом частицы без заряда и спина:

${\displaystyle \left[L_{i},\;H\right]=0.}$

Симметрия вращения

Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:

${\displaystyle -{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\mathbf {L} ^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:

${\displaystyle L^{2}\mid l,\;m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)\mid l,\;m\rangle ,}$

${\displaystyle L_{z}\mid l,\;m\rangle =\hbar m\mid l,\;m\rangle ,}$

где ${\displaystyle l}$ , ${\displaystyle m}$ - целые числа, такие что ${\displaystyle -l\leq m\leq l,}$ а

${\displaystyle \langle \theta ,\;\varphi \mid l,\;m\rangle =Y_{l,\;m}(\theta ,\;\varphi )}$

— сферические функции.