WikiSort.ru - Не сортированное

Ссылки на статьи о тригонометрии

Тригонометрия

Обзор тригонометрии (англ.) История Использование (англ.) Функции (Обратные) Обобщённая тригонометрия (англ.)

Справочник

Тождества Точные константы (англ.) Таблицы Единичная окружность

Законы и теоремы

Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников

Математический анализ

Тригонометрическая подстановка (англ.) Интегралы (обратные функции) Производные (англ.)

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до ${\displaystyle n}$ -мерного пространства (${\displaystyle n>2}$ ), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ .

Тригонометрические функции

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку ${\displaystyle (x,y)}$ на единичной окружности с началом координат ${\displaystyle (0,0)}$ , получается отрезок, находящийся под углом ${\displaystyle \alpha }$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

${\displaystyle \cos \alpha =x}$ ,

${\displaystyle \sin \alpha =y}$ .

При подстановке этих значений в уравнение окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ получается:

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}$ .

(Используется следующая общепринятая нотация: ${\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}$ .)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

${\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}$

${\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}$

для всех целых чисел ${\displaystyle k}$ , то есть для ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ .

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ :

${\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}$

Множество ${\displaystyle G}$ является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это ${\displaystyle e^{i0}=1}$ ).

См. также

• Единичная сфера
• Единичный квадрат
• Единичный куб

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.