Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи[1] и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.
Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.
Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:
В нём обнаруживаются следующие физические величины:
есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус.
Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML−1T−2.
В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.
Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице , где есть плотность массы, а — гидростатическое давление.
где — плотность массы (покоя), — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо еще суммировать (интегрировать) по скоростям.
В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.
Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) , зависящего от полевых функций и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:
Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)
который имеет вид
Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму
Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора к симметризованному виду добавлением тензорной величины где тензор антисимметричен по двум последним индексам . Действительно, для симметризованного ТЭИ
автоматически следует закон сохранения
В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ выражается через вариационную производную по метрическому тензору в точке пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:
где Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:
где — тензор Риччи, — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде
В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:
Пространственные компоненты образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений[3] или тензором натяжений Максвелла[4].
В ковариантной форме можно записать:
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .